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Erwartungswert - Minimum von Summe der Variablen

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Erwartungswert

Verteilungsfunktionen

Wahrscheinlichkeitsmaß

Zufallsvariablen

Tags: Erwartungswert, Verteilungsfunktion, Wahrscheinlichkeitsmaß, Zufallsvariablen

JanAusWarschau aktiv_icon

18:14 Uhr, 01.11.2021

Hallo zusammen, ich habe folgende Aufgabe:

Sei

X_{1}, X_{2}, . . ., X_{n}, . . .

unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen von stetiger Gleichverteilung

U (0, 1)

und

N

ist eine Variable von Pascal-Verteilung wo:

P (N = n) = (\binom{n + 2}{n}) p^{3} (1 - p)^{n}

für alle

n = 0, 1, 2, . . .

unabhängig von

X_{1}, X_{2}, . . ., X_{n}, . . .

Sei

M_{N} = m i n {X_{1}, X_{2}, . . ., X_{n}}

, wenn

N > 0

und

M_{N} = 0

wenn

N = 0

Berechne

E (M_{N})

Antwortsmöglichkeiten:

a)

\frac{p - p^{3}}{2}

\frac{p - p^{2}}{2}

\frac{1 + p - 2 p^{2}}{2}

\frac{p + p^{2} - 2 p^{3}}{2}

\frac{p + p^{2} - p^{3}}{2}

Meine Berechnungen:

Von der Definizion der Minimum:

m i n {X_{1}, X_{2}, . . ., X_{n}} = y

wenn

X_{1} < y \cap X_{2} < y . . . . X_{n} < y

deswegen

F (y) = P (X_{1} < y) * P (X_{2} < y) * . . . * P (X_{n} < y) = 1 - P (X_{1} > y) * P (X_{2} > y) * . . . * P (X_{n} > y)

und das ist

1 - P (X_{1} > y)^{n}

, da das eine stetige Gleichverteilung ist

U (0, 1)

. Dann habe ich

F (y) = 1 - (1 - y)^{n}

bekommen

f (y) = n (1 - y)^{n - 1}

Dann Erwartungswert

E (Y)

ist:

\int_{0}^{1} y f (y) d y = n \int_{0}^{1} y (1 - y)^{n - 1} d y

und nutze eine Transformation von:

1 - y = t

und dann habe:

n \int_{1}^{0} - (1 - t) (t)^{n - 1} d t = n \int_{0}^{1} (1 - t) (t)^{n - 1} d t

, schlussendlich hat man

n \int_{0}^{1} (1 - t) (t)^{n - 1} d t = \frac{1}{n + 1}

Und dann wollte ich einen bedingten Erwartungswert anwenden:

E (Y ∣ N = n) = \sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{1}{n + 1} * P (N = n))

dann aber wenn ich es alles summieren möchte dann kann ich auf keine von den möglichen Antworten kommen. Meine Vermutung ist, dass entweder ich mich bei der Berechnung vertan habe oder soll es sich so vereinfachen, dass man eine bekannte Verteilung hier irgendwie bemerkt.

Wäre dankbar für alle Antworten.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)

HAL9000

18:19 Uhr, 01.11.2021

Ein kleiner, aber entscheidender Fehler in der Definition deines

M_{N}

:

Du meinst sicher

M_{N} = min {X_{1}, X_{2}, \dots, X_{N}}

statt

M_{N} \overset{?}{=} min {X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}}

(mit einem

n

ohne jede Bedeutung hier!!!).

---------------------------------------------------------

Vielleicht mal zusammengefasst, was du da vorhast: Du berechnest die bedingte Verteilung von

M_{N}

unter der Bedingung

N = n

und bekommst raus die Dichte

f_{M_{N}} (y ∣ N = n) = n {(1 - y)}^{n - 1}

bzw. dann

E [M_{N} ∣ N = n] = \frac{1}{n + 1}

, alles soweit richtig. Und weiter geht es mit der totalen Wahrscheinlichkeit (besser gesagt: totalem Erwartungswert)

E [M_{N}] = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n + 1} (\begin{array}{c} n + 2 \\ n \end{array}) p^{3} {(1 - p)}^{n} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n + 1} \cdot \frac{(n + 2) (n + 1)}{2} p^{3} {(1 - p)}^{n}

= \frac{p^{3}}{2} [- 2 + \sum_{n = 0}^{\infty} (n + 1) {(1 - p)}^{n} + \sum_{n = 0}^{\infty} {(1 - p)}^{n}]

= \frac{p^{3}}{2} [- 2 + \frac{1}{{(1 - (1 - p))}^{2}} + \frac{1}{1 - (1 - p)}] = \frac{p}{2} [- 2 p^{2} + 1 + p]

----------------------------------------------------------

Bei dem Minimum oben ist einiges bei dir durcheinander gegangen - am Ende hast du nach etlichen falschen Zwischenausdrücken die Kurve gekriegt. Richtig ist

min {X_{1}, \dots, X_{n}} \leq y

ist gleichbedeutend mit

X_{1} \leq y \lor X_{2} \leq y \lor \dots \lor X_{n} \leq y

.

Die Negation (bzw. auf definierte Ereignis bezogen das Komplement) davon ist

min {X_{1}, \dots, X_{n}} > y

ist gleichbedeutend mit

X_{1} > y \land X_{2} > y \land \dots \land X_{n} > y

und darauf basierend

P (min {X_{1}, \dots, X_{n}} > y) = P (X_{1} > y) \cdot P (X_{2} > y) \cdot \dots \cdot P (X_{n} > y)

,

dann warst du oben wieder in der Spur. Das obige

P (X_{1} < y) \cdot P (X_{2} < y) \cdot \dots \cdot P (X_{n} < y)

war definitiv hier fehl am Platze - diese Rechnung taucht stattdessen bei der Verteilung von

max {X_{1}, \dots, X_{n}}

auf!!!

JanAusWarschau aktiv_icon

23:14 Uhr, 02.11.2021

Hallo HAL9000, ja du hast Recht ich habe mich vertippt. Danke für deine Antwort!

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