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Erwartungswert ausrechnen Zufallsvariable

Universität / Fachhochschule

Erwartungswert

Tags: Erwartungswert, Normalverteilung, Zufallsvariable

Jonas190 aktiv_icon

13:26 Uhr, 09.09.2021

Hallo

Wenn

X

eine normalverteilte Zufallsvariable ist, wie ist dann der Erwartungswert von

e^{- x^{2}}

zu berechnen?

Ich habe die Verteilungsfunktion der Normalverteilung (mit dem Ausdruck

e^{- x^{2}}

multipliziert) über

R

integriert, um den Erwartungswert zu erhalten. Ich bin mir auch sicher, dass dieser Ansatz korrekt ist. Die beiden Exponenten der Eulerschen Funktion können dann miteinander addiert werden. Aber ich komme ab diesem Punkt nicht mehr weiter.

Könnte mir jemand helfen?

Vielen Dank.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HAL9000

13:48 Uhr, 09.09.2021

Redest du von Standardnormalverteilung? Man kann es auch für beliebige Normalverteilungen berechnen, allerdings wird die Rechnung dann etwas aufwändiger und symbollastiger, daher frage ich besser vorher nach...

---------------------------------------

Na Ok, allgemeine Normalverteilung

X \sim N (μ, σ^{2})

E [e^{- X^{2}}] = \frac{1}{σ \sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} \exp (- x^{2} - \frac{{(x - μ)}^{2}}{2 σ^{2}}) d x = \dots = \frac{1}{\sqrt{2 σ^{2} + 1}} \cdot \exp (- \frac{μ^{2}}{2 σ^{2} + 1})

Im Bereich

= \dots =

versteckt sich eine nette quadratische Ergänzung, die den Integrandenterm (bis auf den Vorfaktor) in die Form der Dichte einer anderen Normalverteilung bringt, was dann die Integralberechnung ermöglicht.

Jonas190 aktiv_icon

20:20 Uhr, 09.09.2021

Hallo HAL9000!

Vielen Dank für Deine Antwort. Ich wollte sofort zurückschreiben, kam aber nicht zum Computer und hatte daher auch Deine Rückfrage zunächst nicht gesehen.

Ich habe ein Skript gefunden, in welchem der von Dir skizzierte Lösungsweg beschrieben ist. Die betreffende Seite des Skripts habe ich an diese Mail angehängt.

Es gibt zwei Dinge, welche ich nicht verstehe:

a)

aus meiner Sicht muss der Term

x^{2}

auch im Nenner mit

(1 + 2 σ^{2})

erweitert werden (ich meine damit das

x^{2}

in der ersten Zeile der im Skript unten beschriebenen quadratischen Ergänzung)

b)

warum ergibt sich (dritte Formelzeile von oben im Skript) der in geschweifte Klammern gesetzte Ausdruck zu dem genannten Wurzelausdruck? Ich weiss, dass jede Normalverteilung mit 1 normiert ist, aber ich verstehe nicht, wie der genannte Ausdruck zustande kommt.

Vielen Dank für Hilfe hierbei!

HAL9000

22:53 Uhr, 09.09.2021

Bei deinem a) muss ich einfach nur verständnislos fragen: Von welchem

x^{2}

im Nenner sprichst du? Es gibt keinerlei

x

im Nenner. :(

Zentral ist die Integrationsvariable

x

- alles andere ist nur KONSTANTES Beiwerk. Und bezüglich dieses

x

hat man die quadratische Ergänzung einfach KONSEQUENT durchzuziehen - mögen die Koeffizienten sonstwelche gebrochen rationale Funktionen in

μ, σ

sein, davon sollte man sich schlicht nicht beirren lassen.

Zu b) Es ist

- \frac{1 + 2 σ^{2}}{2 σ^{2}} = - \frac{1}{2 τ^{2}}

, sofern man

τ := \frac{σ}{\sqrt{1 + 2 σ^{2}}}

setzt. Dieses

τ

ist de facto die Standardabweichung derjenigen Normalverteilung die wir jetzt zur Berechnung des Integrals nutzen: Setzen wir außerdem als zugehörigen Mittelwert

η := \frac{μ}{1 + 2 σ^{2}}

, dann wissen wir ja von der Normalverteilung

N (η, τ^{2})

die Gesamtwahrscheinlichkeit

\frac{1}{τ \sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} \exp (- \frac{1}{2 τ^{2}} {(x - η)}^{2}) d x = 1

,

umgestellt

\int_{- \infty}^{\infty} \exp (- \frac{1}{2 τ^{2}} {(x - η)}^{2}) d x = τ \sqrt{2 π}

, und weiter dann

\frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2}}} \int_{- \infty}^{\infty} \exp (- \frac{1}{2 τ^{2}} {(x - η)}^{2}) d x = \frac{τ}{σ} = \frac{1}{\sqrt{1 + 2 σ^{2}}}

Jonas190 aktiv_icon

23:15 Uhr, 09.09.2021

Hallo HAL9000

Vielen Dank, das hast Du wirklich gut erklärt!

Ich konnte es jetzt gut nachvollziehen.

ps: zu dem

a) :

hier meinte ich nur, dass bei dem

x^{2}

im Skript die Division durch

(1 + 2 σ^{2})

meiner Meinung nach vergessen wurde. Auch die von Dir gewählten Substitutionen bestätigen dies, da dort in beiden Fällen die Division durch den obigen Term stattfindet (im Skript aber nur bei einem von beiden, was vermutlich ein Flüchtigkeitsfehler ist).

Auf jeden Fall noch einmal ganz herzlichen Dank!

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