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Erwartungswert bei Wiederholung

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Erwartungswert

Tests

Tags: Erwartungswert, test

akuankka aktiv_icon

13:06 Uhr, 31.10.2017

Was ist die erwartete Anzahl der Würfe bis man zweimal eine Sechs gewürfelt hat?

Der Erwartungswert der Anzahl der Würfe bis man einmal eine Sechs würfelt ist genau 6. Das kann man berechnen mit einer Zufallsvariable

X,

die jede abgeschlossene Wurffolge auf die Anzahl der Würfe abbildet.

Also intuitiv ist die Antwort natürlich

12,

aber wie kann man das beweisen anhand der Definition des Erwartungswerts?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

13:18 Uhr, 31.10.2017

X =

Anzahl der Würfe, bis zweimal

6

fällt.

X = n

bedeutet, dass zwischen den

n - 1

Würfen genau einmal

6

vorkommt und dann noch beim

n

-ten Wurf

6

fällt.
Daher

P (X = n) = (n - 1) (\frac{1}{6})^{2} (\frac{5}{6})^{n - 2}

.
Der Erwartungswert ist also

\sum_{n = 2}^{\infty} n P (X = n) = \sum_{n = 2}^{\infty} n (n - 1) (\frac{1}{6})^{2} (\frac{5}{6})^{n - 2}

.
Das kann man am einfachsten berechnen, indem man die Reihe

\sum_{n = 2} x^{n}

zweimal ableitet:

(\sum_{n = 2} x^{n}) ʺ = \sum_{n = 2} n (n - 1) x^{n - 2}

. Da

\sum_{n = 2} x^{n} = \frac{x^{2}}{1 - x}

, folgt

\sum_{n = 2} n (n - 1) x^{n - 2} = (\frac{x^{2}}{1 - x}) ʺ = - \frac{2}{(x - 1)^{3}}

.
Wir haben

x = 5 / 6

, also gilt

\sum_{n = 2}^{\infty} n P (X = n) = \sum_{n = 2}^{\infty} n (n - 1) (\frac{1}{6})^{2} (\frac{5}{6})^{n - 2} = - (\frac{1}{6})^{2} \frac{2}{(5 / 6 - 1)^{3}} = (\frac{1}{6})^{2} \frac{2}{(1 / 6)^{3}} = 2 \cdot 6 = 12

akuankka aktiv_icon

14:13 Uhr, 31.10.2017

Wow, danke für die sehr ausführliche und klare Antwort! Fast genauso haben wir's für den Erwartungswert bis Sechs einmal fällt berechnet.

Wenn ich das Problem ein bisschen verallgemeinere, und frage was die erwartete Anzahl der Würfe ist, bis man zum k-ten Mal eine Sechs würfelt, wenn Sechs mit einer Wahrscheinlichkeit von

q

fällt, dann wäre ja die intuitive Antwort

\frac{k}{q},

also

6 k

mit einem normalen Würfel. Könnte man die Antwort

\frac{k}{q}

irgendwie daraus logisch folgern, dass

E (X) = \frac{1}{q}

für den Fall

k = 1

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