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Erwartungswert bei mehrdimensionalen Zufallsvar.

Universität / Fachhochschule

Erwartungswert

Tags: Erwartungswert, Mehrdimensional, Stochastik, Zufallsvariablen

supaboy aktiv_icon

17:32 Uhr, 12.06.2017

Hallo,

ich stehe vor dem Problem, wie ich bei "mehrdimensionalen Zufallsvariablen" den Erwartungswert z.B.

E (X_{1})

und

E (X_{1} * X_{2})

bei einer Zufallsvariable

X = (X_{1}, X_{2})

berechnen soll bei nachfolgend gegebener (stetigen) Dichtefunktion:

f_{X} (X_{1}, X_{2}) := x_{1} + x_{2}

für (

0 \leq x_{1} \leq 1

und

0 < = x_{2} \leq 1

)

0

sonst

Ich kenne das bei eindimensionalen stetigen Zufallsvariablen noch so, dass ich einfach für

E (X)

F (x) = \int_{a}^{b} x * (f (x)) d x

berechnen muss. Ist das bei mehrdimensionalen Zufallsvariablen genauso einfach?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

supaboy aktiv_icon

20:18 Uhr, 14.06.2017

Lösung:
zu

E (X_{1})

:
Das Vorgehen ist bei mehrdimensionalen Zufallsvariablen sehr ähnlich zu eindimensionalen Zufalllsvariablen.
Um

E (X_{1})

bei einer stetigen Dichtefunktion zu bestimmen, muss zuerst die Randdichtefunktion gebildet werden:

f_{x_{1}} (x_{1}) = \int_{0}^{1} (x_{1} + x_{2}) d x_{2} = [x_{1} * x_{2} + \frac{1}{2} x_{2}^{2}] \binom{1}{0} = x_{1} + \frac{1}{2}

E (X_{1}) = \int_{0}^{1} x_{1} * f_{x_{1}} (x_{1}) d x_{1} = \int_{0}^{1} x_{1}^{2} + \frac{1}{2} x_{1} d x_{1} = [\frac{1}{3} x_{1} + \frac{1}{4} x_{1}^{2}] \binom{1}{0} = \frac{7}{12}

E (X_{1} X_{2}) :

E (X_{1} X_{2}) = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} x_{1} x_{2} (x_{1} + x_{2}) d x_{1} d x_{2}

= \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} (x_{1}^{2} x_{2} + x_{1} x_{2}^{2}) d x_{1} d x_{2}

= \int_{0}^{1} [\frac{1}{3} x_{1}^{3} x_{2} + \frac{1}{2} x_{1}^{2} x_{2}^{2}] \binom{1}{0} d x_{2}

= \int_{0}^{1} (\frac{1}{3} x_{2} + \frac{1}{2} x_{2}^{2}) d x_{2}

= [\frac{1}{6} x_{2}^{2} + \frac{1}{6} x_{2}^{3}] \binom{1}{0}

= \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

1376200

1375815

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