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Erwartungswert berechnen

Schüler

Tags: dicht, Erwartungswert, produkt

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04:42 Uhr, 16.06.2019

\sim N (1, 2)

\sim N (3, 4)

μ_{1} = 1 = E [X]

μ_{2} = 3 = E [Y]

σ_{1}^{2} = 2 = > σ_{1} = \sqrt{2} = V (X)

σ_{2}^{2} = 4 = > σ_{2} = 2 = V (Y)

V (2 (X + Y))

α \geq 0

Ich soll apha finden damit X,Y unabhängig.

u n a b n h ä n g i g < = > u n k o r r e l i e r t

V (2 (X + Y)) = V (2 X + 2 Y) = V (X) + V a r (Y) + 2 C o v (X, Y) = α \geq 0

V (2 (X + Y)) = V (2 X + 2 Y) = \sqrt{2} + 2 + 2 C o v (X, Y) = α \geq 0

2 C o v (X, Y) = α - \sqrt{2} - 2

2 C o v (X, Y) = 2 (E [X Y] - E [X] E [Y]) = α - \sqrt{2} - 2

2 (E [X Y] - 1 * 3) = α - \sqrt{2} - 2

Wie berechne ich E[XY]?

Oder soll ich einfach 2(E[XY]−1∗3) = 0 setzen damit cov = 0 => corr(X,Y) = 0 ?

Soll ich es mit dem Integral weiter berechnen?
E[XY] =

\int \int x * y * f (x, y),

f(x,y) ist hier die gemeinsame Dichte. f(x,y)=f(x)*f(y) darf ich nicht verwenden, da ich nicht weiß ob X,Y unabhängig sind

Falls ich es mit dem Integral weiter berechnen muss, habe ich die gemeinsame Dichte f(x,y) nicht gegeben.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

HAL9000

08:41 Uhr, 16.06.2019

Irgendwie bringst du ständig Varianz und Standardabweichung durcheinander...

X \sim N (1, 2)

heißt

E (X) = μ_{1} = 1

sowie

V (X) = σ_{1}^{2} = 2

Y \sim N (3, 4)

heißt

E (Y) = μ_{2} = 3

sowie

V (Y) = σ_{2}^{2} = 4

.

Unabhängig heißt insbesondere auch unkorreliert, richtig, daher lautet die Varianzrechnung in diesem Fall

V (2 (X + Y)) = 2^{2} \cdot V (X + Y) \overset{!}{=} 4 (V (X) + V (Y)) = 4 (2 + 4) = 24

,

d.h.

α = 24

.

Im Falle der Unabhängigkeit ist

E [X Y] = E [X] E [Y] = 1 \cdot 3 = 3

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09:47 Uhr, 16.06.2019

Danke, ich habe diese Eigenschaft von Varianz übersehen glaube ich.

Wenn

c o r r (X, Y) = 1

wie kann ich eine Funktion

f : R - > R

finden sodass

Y = f (X)

? Soweit ich verstanden habe hat es etwas mit der Transformation von Zufallsvariablen zu tun. Ist das die Verteilungsfunktion also das Integral der Dichte?

HAL9000

11:42 Uhr, 16.06.2019

> Wenn

c o r r (X, Y) = 1

wie kann ich eine Funktion

f : R \to R

finden sodass

Y = f (X)

?

Das geht sogar noch genauer: Es gibt dann nicht nur irgendeinen funktionalen, sondern speziell eine LINEAREN Zusammenhang

Y = a X + b

mit reellen Konstanten

a, b

, wobei

a > 0

ist.

Genauso bei

c o r r (X, Y) = - 1

, nur dass da

a < 0

ist.

Mit Dichte oder Verteilungsfunktion hat dieses

f

NICHTS zu tun.

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15:21 Uhr, 16.06.2019

Kann ich also eine beliebige lineare Gleichung mit positiver Steigung angeben?

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19:34 Uhr, 16.06.2019

Ist das richtig?

Y = σ X + μ \sim N (μ, σ 2)

Y = 2 X + 1

HAL9000

20:30 Uhr, 16.06.2019

Ok, dieses

c o r r (X, Y) = 1

soll sich auf die

X, Y

aus dem Ausgangsposting beziehen? D.h., jetzt nicht mehr Unabhängigkeit/Unkorreliertheit (wie bisher), sondern das andere Extrem?

Nun gut, dann muss folgendes erfüllt sein:

Aus

V (Y) = V (a X + b) = a^{2} V (X)

folgt

σ_{2}^{2} = a^{2} σ_{1}^{2}

, d.h.

4 = 2 a^{2}

bzw.

a = \sqrt{2}

.

Aus

E (Y) = E (a X + b) = a E (X) + b

folgt

μ_{2} = a μ_{1} + b

, d.h.

3 = a + b

und damit

b = 3 - \sqrt{2}

.

Insgesamt ergibt das

Y = \sqrt{2} X + 3 - \sqrt{2}

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22:23 Uhr, 16.06.2019

Danke, wusste gar nicht, dass man es so einsetzen muss.

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