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Erwartungswert berechnen
Universität / Fachhochschule
Erwartungswert
Tags: Erwartungswert
 
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Ich soll folgende Aufgabe lösen: Es werden Personen einem Bluttest unterzogen. Die Personen seien unabhängig voneinander mit der Wahrscheinlichkeit krank. Der Test wird wie folgt durchgeführt: Die nk Personen werden in Gruppen der Größe aufgeteilt. In jeder Gruppe wird zunächst Blut von allen Gruppenmitgliedern zusammengeschüttet und gemeinsam getestet. Ist der Befund in einer Gruppe positiv, so werden alle Gruppenmitglieder nochmals einzeln getestet. Es sei Xn,k die Gesamtzahl der benötigten Tests. Berechnen Sie E(Xn,k). Bestimmen Sie für und die optimale Gruppengröße für die der Erwartungswert der Gesamtzahl der benötigten Tests minimal wird. Es fehlt mir leider ein Ansatz, wie ich diese Aufgabe lösen soll. Ich habe zum Beispiel folgendes Problem: nehme ich die konkreten Daten ( und so weiss ich ja, dass ich genau Erkrankte auf eine bestimmte Anzahl von Gruppen verteilen muss. Es ergeben sich aber sehr viele verschiedene Möglichkeiten einer solchen Verteilung (so können (unwahrscheinlich aber möglich)) alle Erkrankten in einer Gruppe landen, was dann natürlich den Testaufwand minimiert); es können aber auch im Sinne einer Gleichverteilung die Erkrankten zum Beispiel symmetrisch auf Gruppen verteilt sein, und schliesslich kann ich ja auch noch Gruppen haben, und dann bleiben einzelne Gruppen "leer" (haben keinen Erkrankten). Kann mir jemand helfen, hier ein wenig Systematik hineinzubringen? Besten Dank und Gruss Jonas Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Zum Kennenlernen und die Systematik verstehen empfehle ich immer, einfach mal einfache Beispiele durch zu rechnen und vor Augen zu führen. Angenommen, du bildest Gruppen der Größe Wie viele Tests brauchst du (erwartungs-gemäß)? in Abhängigkeit von der Größe Wie viele Tests brauchst du (erwartungs-gemäß)? in Abhängigkeit von |
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Ich habe dann gesehen, dass sich das Problem doch leichter als gedacht lösen lässt, indem man für jede Gruppe mit der Binomialverteilung die Wahrscheinlichkeit ausrechnet, dass sich in dieser Gruppe mindestens ein positiv Getesteter befindet. Gruss Jonas |
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