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Erwartungswert der Gumbel(?)-Verteilung

Universität / Fachhochschule

Erwartungswert

Verteilungsfunktionen

Zufallsvariablen

Tags: Erwartungswert, Gumbel-Verteilung, Verteilungsfunktion, Zufallsvariablen

jawo3 aktiv_icon

21:21 Uhr, 14.12.2015

Hallo zusammen,

ich habe eine Verteilungsfunktion der Form:

F (t) = 1 - e^{- γ \cdot e^{β \cdot t}}

mit

- \infty \leq t \leq \infty

Hierzu versuche ich den Erwartungswert zu berechnen als Größe für die "mean time to failure". Wenn ich das richtig herausgefunden habe, entspricht die Funktion einer Gumbel-Verteilung mit Zufallsgröße

T,

die auch negative Werte annehmen kann.

Ansatz:

E [T] = \int_{0}^{\infty} 1 - F (t) d t - \int_{- \infty}^{0} F (t) d t

= \int_{0}^{\infty} e^{- γ \cdot e^{β \cdot t}} d t - \int_{- \infty}^{0} 1 - e^{- γ \cdot e^{β \cdot t}}

Hier würde ich jetzt substituieren:

x = γ \cdot e^{β \cdot t} \Leftrightarrow t = \frac{1}{β} \cdot ln (\frac{x}{γ}) \Leftrightarrow d t = (\frac{1}{β \cdot x}) d x

= \frac{1}{β} \cdot (\int_{γ}^{\infty} \frac{e^{- x}}{x} d x - \int_{0}^{γ} \frac{1 - e^{- x}}{x} d x)

= \frac{1}{β} \cdot (\int_{0}^{\infty} \frac{e^{- x}}{x} d x - \int_{0}^{γ} \frac{1}{x} d x)

Für das erste Integral würde ich jetzt mit der Definition der Gamma-Funktion weitermachen. Für das zweite Integral ist

\frac{1}{x}

doch aber an 0 nicht definiert bzw. unendlich groß?! Wenn ich das weiter spinne kommt am Ende ein Erwartungswert von unendlich raus.

Bitte sagt mir, was ich hier gerade gewaltig falsch mache!!

Vielen Dank!

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