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Erwartungswert der empirischen Varianz

Universität / Fachhochschule

Erwartungswert

Zufallsvariablen

Tags: Erwartungswert, Zufallsvariablen

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22:25 Uhr, 11.12.2018

Ich möchte folgendes beweisen und stehe leider etwas auf dem Schlauch wie ich richtig ansetze:
Für unabhängige Zufallsvariablen

X_{1}, . .

, X_{n}

welche indentisch verteilt sind und

E (X_{1}) < \infty

gilt

V a r (X_{1}) = E (\frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} {(X_{i} \bar{X})}^{2})

wobei

\bar{X} = \frac{1}{n} \cdot \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

Ich hatte an Fubini gedacht, aber bin da leider nicht wirklich weiter gekommen. Wäre super dankbar für einen Hinweis, wie es funktionieren könnte :-) vielen Dank

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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22:39 Uhr, 11.12.2018

Hallo,

keine Ahnung wie hier Fubini weiterhelfen soll. Ich würde so beginnen. Erstmal

\frac{1}{n - 1}

vor den Erwartungswert-Operator ziehen.

= \frac{1}{n - 1} E [\sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - \bar{X})^{2}] ∣ \pm μ

= \frac{1}{n - 1} E [\sum_{i = 1}^{n} {[(X_{i} - μ) - (\bar{X} - μ)]}^{2}]

Und jetzt mit der 2. binomischen Formel weitermachen, wobei

a = (X_{i} - μ)

und

b = (\bar{X} - μ)

Gruß

pivot

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22:54 Uhr, 11.12.2018

Vielen Dank für deine Antwort! Das mit dem Vorziehen von

\frac{1}{n - 1}

ist logisch, der Schritt mit der binomischen Formel ist mir auch klar, aber ich verstehe noch nicht richtig wie mir das weiter helfen soll, wenn ich das ganze ausmultipliziere komme ich logischerweise auf das gleiche Ergebnis, wie wenn ich

{(X_{i} - \bar{X})}^{2}

ausmultipliziere. Gibt es irgendein Rechengesetz für den Erwartungwert, das ich anwenden kann, wenn ich das

μ

"ergänze"? LG

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23:07 Uhr, 11.12.2018

Bedenke, dass die Variance von

X_{i}

auch als

E [(X_{i} - μ)^{2}]

geschrieben werden kann. Also du schreibst für jeden Summanden der bin. Formel ein eigenes Summenzeichen. Dannach für ziehst du den Erwartungswert in die jeweiligen Summenzeichen hinein.

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21:41 Uhr, 12.12.2018

Okay, vielen Dank schon mal! Was ich jetzt mit deinen Tips gemacht habe ist folgendes:

\frac{1}{n - 1} \cdot \sum_{i = 1}^{k} ({((X_{i} - μ) - (\bar{X} - μ))}^{2}) = \frac{1}{n - 1} \cdot E ((\sum_{i = 1}^{k} ({(X_{i} - μ)}^{2})) - (\sum_{i = 1}^{k} (2 (X_{i} - μ) (\bar{X} - μ))) + (\sum_{i = 1}^{k} {(\bar{X} - μ)}^{2}))

= \frac{1}{n - 1} \cdot (n \cdot V a r (X_{1}) - (\sum_{i = 1}^{k} (2 (X_{i} - μ) (\bar{X} - μ))) + (\sum_{i = 1}^{k} {(\bar{X} - μ)}^{2}))

Mit dem Umformen der letzen beiden Summanden komme ich leider nicht richtig weiter, habe Pprobiert die Definition von

\bar{X}

einzusetzen, aber die ganzen Terme wurden da sehr wild. Stimmt das was ich bisher weiter "gerechnet" habe oder habe ich eh schon Fehler drin? Vielen Dank :-)

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22:39 Uhr, 12.12.2018

Sieht eigentlich gut aus. Erst mal der mittlere Teil. Man kann den Faktor der nicht von i abhängt vor das Summenzeichen ziehen. Nur nebenbei, die obere Grenze bei dem Summenzeichen ist natürlich

n

2 (\bar{X} - μ) \sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - μ)

Was ergibt jetzt

\sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - μ) = \sum_{i = 1}^{n} X_{i} - \sum_{i = 1}^{n} μ

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09:50 Uhr, 13.12.2018

Okay:

2 (\bar{X} - μ) \sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - μ) = 2 \cdot (\bar{X} - μ) (\sum_{i = 1}^{n} X_{i} - \sum_{i = 1}^{n} μ) = 2 \cdot (\bar{X} - μ) (\sum_{i = 1}^{n} X_{i} - n \cdot μ) = n (\bar{X} - μ) (n \cdot \bar{X} - n \cdot μ)

= 2 n {(\bar{X} - μ)}^{2}

Das heißt:

E (2 (\bar{X} - μ) \sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - μ)) = 2 n (V a r (X_{1}))

Für den letzten Summanden dachte ich:

\sum_{i = 1}^{n} E ({(\bar{X} - μ)}^{2}) = n \cdot E ({(\bar{X} - μ)}^{2}) = n \cdot V a r (X_{1})

Dann würde ich aber nach den Umformungen erhalten:

\frac{1}{n - 1} \cdot (n V a r (X_{1}) - 2 n V a r (X_{1}) + n V a r (X_{1})) = \frac{1}{n - 1} \cdot 0 = 0

Habe ich da einen Fehler bei meinen Umformungen
Vielen Lieben dank :-)

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