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Erwartungswert des Auftretens einer Reihe

Universität / Fachhochschule

Erwartungswert

Tags: Erwartungswert, feste Reihenfolge, Mit Zurücklegen, unendlich Versuche, Wahrscheinlichkeitsfunktion

EugenP aktiv_icon

00:29 Uhr, 10.03.2019

Hallo zusammen,
Ich bin auf der suche nach einer formel die folgende wahrscheinlichkeit bzw. deren erwartungswert beschreiben kann:
Die voraussetzungen sind: es können 2 unterschiedliche ereignisse auftreten, die jeweils eine wahrscheinlichkeit von $50 %$ besitzen. Diese Zufallswahl wird nun unendlich oft wiederholt.
Dabei interessiere ich mich nun für die ununterbrochene abfolge des selben ereignisses, also beispielsweise, dass 5 mal hintereinander ereignis A auftritt ohne dabei von $B$ unterbrochen zu werden.
Meine Frage dazu: was ist der erwartungswert (Anzahl an Durchgängen), bis beispielsweise 5 mal hintereinander ereignis A vorkommt?

Mein ansatz dazu war erstmal die wahrscheinlichkeit für dieses ereignis bei 5 durchgängen auszurechnen $(= {0,5}^{5})$ was ca. $3,1 %$ enstspricht. Der erwartungswert, wenn man jeden "5er-Block" an Durchgängen einzeln betrachtet wäre als ${0,031}^{- 1} = 32$ . Demnach wäre nach $(32 \cdot 5 =) 160$ durchgängen das ereignis "5 mal A hintereinander" zu erwarten.
Dabei vernachlässigt man jedoch all die möglichkeiten einer"AAAAA" Folge, die durch kombination der "5er-blöcke" entstehen würden, $z . B$ . wenn eine 5er-folge "AABAA" lautet und die darauffolgende "AAABB", so wird das in meiner obigen berechnung nicht berücksichtigt und damit so gewertet als wäre das ereignis "5 mal hintereinander A" nicht eingetreten, obwohl es eingetreten ist.

Mit welcher Formel kann ich also die durchschnittlich zu erwartende Anzahl an Durchgängen, bis das ereignis "5 mal A" eintritt, berechnen?
Bzw. die wahrscheinlichkeit dafür, dass das genannte ereignis beispielsweise nach $50$ durchgängen aufgetrten ist?

Vielen dank,
Mfg

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HAL9000

07:06 Uhr, 10.03.2019

Ok, es geht um wiederholten Münzwurf mit den Ausgängen "Kopf" (Wahrscheinlichkeit $p$ ) und "Zahl" (Wahrscheinlichkeit $1 - p$ ), und Zufallsgröße $X$ bezeichne die nötige Anzahl Würfe, bis zum ersten Mal genau $m$ -mal Kopf hintereinander aufgetreten sind. Dann gilt für $n \geq m + 1$

$P (X = n) = p^{m} (1 - p) P (X > n - m - 1)$ ,

denn die letzten $m$ Würfe müssen Kopf sein, der unmittelbar davor Zahl, UND in den $(n - m - 1)$ Würfen vor dieser Sequenz darf das Ereignis noch nicht eingetreten sein. Mit der Abkürzung $q_{n} := P (X > n)$ bedeutet das wegen $P (X = n) = q_{n - 1} - q_{n}$ die Rekursion

$q_{n} = q_{n - 1} - p^{m} (1 - p) q_{n - m - 1}$ für $n \geq m + 1$

mit den Startwerten $q_{0} = q_{1} = \dots = q_{m - 1} = 1$ sowie $q_{m} = 1 - p^{m}$ . Damit lässt sich auch der Erwartungswert berechnen:

$E (X) = \sum_{n = 0}^{\infty} q_{n} = \sum_{n = 0}^{m} q_{n} + \sum_{n = m + 1}^{\infty} (q_{n - 1} - p^{m} (1 - p) q_{n - m - 1})$
$= \sum_{n = 0}^{m} q_{n} + \sum_{n = m}^{\infty} q_{n} - p^{m} (1 - p) \sum_{n = 0}^{\infty} q_{n} = E (X) + q_{m} - p^{m} (1 - p) E (X)$

was umgestellt $E (X) = \frac{1 - p^{m}}{p^{m} (1 - p)}$ ergibt, im Fall $p = \frac{1}{2}$ einer ungezinkten Münze bedeutet das $E (X) = 2 (2^{m} - 1)$ , für $m = 5$ demnach $E (X) = 62$ .

Für die Wahrscheinlichkeit, dass nach spätestens 50 Würfen eine solche Folge aufgetreten ist, muss man die o.g. Rekursion bemühen, die ergibt dann $P (X \leq 50) = 1 - q_{50} \approx 0.5519$ .

anonymous

08:49 Uhr, 10.03.2019

Hallo Eugen
Damit wir alle das gleiche und rechte Verständnis haben, lass uns doch die Aufgabe nochmals in klare Worte fassen.

$a)$
Du sprichst von einem Ereignis "A" mit Wahrscheinlichkeit $p_{A} = 0.5,$
und von einem Ereignis "B" mit Wahrscheinlichkeit $p_{B} = 0.5$ .
HAL und auch mir kommen hierbei Münzwürfe in den Sinn.
Münzwürfe werden meist in 'Kopf' und 'Zahl' unterschieden. Das könnte man als Beispiel für
$>$ "Kopf" = "A"
$>$ "Zahl" = "B"
auffassen.
Das würde aber bedeuten, dass stets wenn "A" auftritt, "B" gerade nicht auftritt.
Das habe ich deinen vielen Worten so nicht eindeutig entnommen.
Eugen, ist es so, dass "A" stets "B" ausschließt, dass wir also Münzwürfe in den Sinn nehmen dürfen?

$b)$
Dann sprichst du zunächst davon, "diese Zufallswahl wird nun unendlich oft wiederholt."
Und stellst 'Deine' Frage dazu: "Was ist der Erwartungswert (...)" hierfür.
Wenn wir dich wörtlich nähmen, dann ist das einfach zu beantworten:
$b . 1)$
Egal wie unwahrscheinlich eine bestimmte Sequenz "AAABABBBBBBABAAABAAAAAAB..." auch sein mag, in einer unendlich langen Folge von Münzwürfen wird die Wahrscheinlichkeit, dass diese Sequenz auftritt, eindeutig
$p = 100 %$
betragen.

und
$b . 2)$
Egal wie unwahrscheinlich eine bestimmte Sequenz "AAABABBBBBBABAAABAAAAAAB..." auch sein mag, in einer unendlich langen Folge von Münzwürfen wird diese Sequenz sogar unendlich oft auftreten. $D . h$ . der Erwartungswert für die Auftretens-Anzahl steigt über alle Grenzen.

Ich hoffe, unser Verständnis für Wahrscheinlichkeitstheorie und Grenzwerte ist so einheitlich, dass ich diese Aussagen nicht nochmals in vielen Worten begründen muss.

$c)$
Später dann scheinst du die Unendlichkeit einzuschränken. Ganz am Ende erklärst du beispielsweise in
"das genannte (E)reignis beispielsweise nach $50$ (D)urchgängen aufgetreten ist"
eine Begrenzung der Münzwurfserie auf $n = 50$ Würfe.
Auch HAL scheint die Aufgabe so verstanden zu haben, dass die Serie begrenzt ist, und hat die Größe "n" hierfür eingeführt.
So macht die Aufgabe auch ein klein wenig mehr Sinn und Anspruch.
Eugen, bitte nochmals Klarstellung, ob die Aufgabe als begrenzt auf $n$ Münzwürfe zu verstehen ist.

$d)$
Falls nun eine begrenzte Münzwurfserie gemeint sein sollte, ist diese Aufgabe sinngemäß oder sehr ähnlich schon ein paar mal hier im onlinemathe-Forum aufgetreten - vielleicht zuletzt ohne den hier angedeuteten Erwartungswert.
Dort sind schon sehr viele erklärende Worte und Ausführungen getan, so dass es sicherlich wert wäre, diese Abhandlungen zu suchen und nutzen, als wieder das Rad neu zu erfinden und nochmals k-mal-tausend-Worte zu formulieren.
Wenn wir mal wissen, wie die Aufgabe wirklich zu verstehen ist, könnte ich oder gerne jeglicher sonstige Freiwillige diese unglückseelige 'Suchfunktion' mal bemühen, und versuchen nicht nur zu Suchen, sondern vielleicht auch zu Finden.

HAL9000

09:20 Uhr, 10.03.2019

> Auch HAL scheint die Aufgabe so verstanden zu haben, dass die Serie begrenzt ist, und hat die Größe "n" hierfür eingeführt.

Bitte GRÜNDLICH lesen (ich habe ja nicht so exorbitant viel geschrieben, so dass das machbar sein sollte): Ich gehe von einer unendlichen Wurfkette aus, und habe dann die zum Problem passende Anzahlzufallsgröße $X$ definiert. Ein festes $n$ als Begrenzung habe ich jedenfalls NICHT eingeführt.

EugenP aktiv_icon

13:53 Uhr, 10.03.2019

@11engleich
$a)$ ja, A schließt $B$ aus und umgekerhrt, also wie beim münzwurf.
$b) + c)$ der erwrtungswert für den ich mich interessiere ist nicht OB oder wie OFT der fall "AAAAA" bei unendlich durchgängen eintritt, sondern WANN man davon ausgehen kann, sprich beim wie vielten Durchgang durchschnittlich zum ersten mal "AAAAA" auftritt.
Die frage WANN "AAAAA" durchschnittlich eintritt, begrenzt die Serie logischerweise NICHT (da man ja nach genau dieser grenze fragt)
Der ANDERE teil der Frage, wie groß die wahrscheinlichkeit ist, dass "AAAAA" bis zum $50$ . versuch eintritt, beschränkt also die menge.

@HAL90000 vielen Dank, ich denke du hast die Fragestellung so beantwortet wie sie gemeint war.

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