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Erwartungswert eine 6 zu würfeln

Universität / Fachhochschule

Tags: Erwartungswert, Wahrscheinlichkeit, Würfelexperiment, Zufallsgröße

TimLu aktiv_icon

23:44 Uhr, 26.03.2014

Hallo allerseits,

ich muss folgende Aufgabe lösen:

Gegeben ist ein fairer 6-seitiger Würfel. Wie hoch ist die Anzahl an erwarteten Würfen bis man die Augenzahl 6 hat?

Weiterhin ist folgende Hilfestellung gegeben:

- Zufallsvariable

N :=

Anzahl der Würfe bis man eine 6 hat

(6

im k-ten Wurf)
- Man soll mit der folgenden vorgegebenen Gleichung anfangen und diese dann zum Ergebnis weiterführen:

E [N] = k \cdot {(\frac{5}{6})}^{k - 1} \cdot \frac{1}{6} = ... ...

.

Ich weiß von freunden dass 6 rauskommt, was auch intuitiv Sinn macht aber ich bekomme nicht den Lösungsweg hin,

d . h

. ich kann nicht nachvollziehen wie man mit der vorgegebenen Gleichung auf dieses Ergebnis

(6

erwartete Würfe) kommt. Ich verstehe zwar wie diese vorgegebene Gleichung zustande kommt, aber ich komme seit Stunden nicht auf das Ergebnis. Kann mir das bitte jemand Schritt für Schritt vorrechnen?

Mfg Tim

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Ma-Ma aktiv_icon

00:06 Uhr, 27.03.2014

Steht da wirklich

(\frac{5}{6})

TimLu aktiv_icon

00:13 Uhr, 27.03.2014

Ja da

(\frac{5}{6})

die Gegenwahrscheinlichkeit ist,

d . h .,

die Wahrscheinlichkeit, dass

(k - 1)

mal nicht die 6 fällt und dann im k-ten Wurf die Augenzahl 6 fällt ist somit

{(\frac{5}{6})}^{k - 1} \cdot \frac{1}{6}

Ma-Ma aktiv_icon

00:41 Uhr, 27.03.2014

Hmmm

... ... .

. Bernoulli ist (Dir und mir bekannt) bekannt.

Habe gerade verschiedene

k

eingesetzt, komme jedoch auch nicht auf das gesuchte Ergebnis.

Meine Vorgehensweise war, für

k = 1 .

. 6 einzusetzen.

Da ich Dir nicht helfen konnte, stelle die Frage am besten heute nachmittag nochmal neu ein, da sind mehr Leute hier aktiv.
LG Ma-Ma

Yokozuna aktiv_icon

01:30 Uhr, 27.03.2014

Hallo,

Du musst alle Werte für

k = 1

bis

\infty

aufaddieren, also

\sum_{k = 1}^{\infty} k \cdot \frac{5^{k - 1}}{6^{k}} = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{5} \cdot k \cdot \frac{5^{k}}{6^{k}} = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{5} \cdot k \cdot {(\frac{5}{6})}^{k}

Diese Reihe ist eine Verwandte der geometrischen Reihe und es gibt auch eine Summenformel dafür (siehe de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe unter der Überschrift "Verwandte Summenformel 1":

\sum_{k = 1}^{n} a_{0} \cdot k \cdot q^{k} = a_{0} \cdot \frac{n \cdot q^{n + 2} - (n + 1) \cdot q^{n + 1} + q}{{(q - 1)}^{2}}

Für

q < 1

gehen die Terme

n \cdot q^{n + 2}

und

(n + 1) \cdot q^{n + 1}

gegen Null und man hat

\sum_{k = 1}^{\infty} a_{0} \cdot k \cdot q^{k} = a_{0} \cdot \frac{q}{{(q - 1)}^{2}}

Mit den Werten

a_{0} = \frac{1}{5}

und

q = \frac{5}{6}

ergibt die Summe 6.

Viele Grüße
Yokozuna

TimLu aktiv_icon

01:39 Uhr, 27.03.2014

Vielen Dank für die zeitnahen Antworten, und das um diese Uhrzeit :-) , ich habe nie daran gedacht das mal so umzuformen, dass es die Gestalt der verwandten Summenformel für die geometr. Reihe annimmt, vielen Dank für die Hilfe Yokozuna

Gruß Tim

TimLu aktiv_icon

01:39 Uhr, 27.03.2014

Matlog aktiv_icon

15:55 Uhr, 27.03.2014

Eine kleine Ergänzung:
Den gesuchten Erwartungswert kann man rekursiv viel leichter ausrechnen:

E (N) = \frac{1}{6} \cdot 1 + \frac{5}{6} \cdot (1 + E (N))

vektorussy aktiv_icon

13:54 Uhr, 28.03.2018

Könnte ich die Erwartungswerte dann für zwei Sechser entsprechend der Unabhängigkeit multiplizieren? Und so

36

erhalten?

anonymous

09:29 Uhr, 30.03.2018

"Erwartungswert dann für zwei Sechser"
Ich vermute, du meinst den Erwartungswert für die Häufigkeit an Würfen, bis zweimal eine Augenzahl

' 6'

erwürfelt wurde.

Wieso kommst du auf die Idee zu multiplizieren?
Ich würde mir doch vorstellen, dass du durchschnittlich 6-mal würfeln musst, um die erste

' 6'

zu erzielen, und nochmals typischerweise 6-mal würfeln musst, um die zweite

' 6'

zu erzielen.

Oder meinst du zwei Sechser direkt hintereinander?
Du müsstest die Frage schon noch eindeutiger stellen und verständlich machen...

Roman-22

11:08 Uhr, 30.03.2018

Wenn du den Erwartungswert für die Anzahl der Würfe mit zwei Würfeln bis beide eine Sechs zeigen meinst, dann ist

36

richtig.

Interessantere Zusatzaufgabe: Wir ändern nun die Vorgangsweise ein wenig. Es wird nach wie vor mit zwei Würfeln gewürfelt, aber sobald einer eine 6 zeigt, bleibt er liegen und es wird nur mehr mit dem anderen gewürfelt, bis der auch eine 6 zeigt.
Wie groß ist nun der Erwartungswert der Anzahl der Würfe (Summe aus jenen mit 2 und jenen mit nur einem Würfel)? Lösung:

\frac{96}{11} \approx 8,7

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