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Erwartungswert einer Binomialverteilung

Schüler Gymnasium,

Tags: Bernoulli-Kette, Erwartungswert, Wahrscheinlichkeit

Katharina-

15:57 Uhr, 21.03.2012

Hallo!
Ich habe zu dieser Aufgabe mal eine Frage:

Wenn man eine n-stufige Bernoulli-Kette mit Erfolgswahrscheinlichkeit

p

oft genug durchführt, dann erwarten wir im Mittel n⋅p Erfolge pro Versuch.

a)

Beispiel:

n = 40; p = 0,2

. Vergleichen Sie die Wahrscheinlichkeit für genau 8 Erfolge mit den Wahrscheinlichkeiten von Nachbarwerten

(7

Erfolge, 9 Erfolge, 6 Erfolge,

10

Erfolge).

Ich wusste zuerst nicht, wie ich da vorgehen soll. Ich habe jetzt Tabellen mit je

8,9,6,7

und

10

Erfolgen mit dem Taschenrechner erstellt und den Mittelwert ausgerechnet. Bei 8 Erfolgen kommt da aber

3,8

heraus. Teilt man das durch 8 kommen da nicht

0,2

heraus, sondern

0,475

. Was habe ich falsch gemacht?
Außerdem ist bei 8 Erfolgen die Wahrscheinlichkeit

15,6 %

.
Mein Problem ist, dass wenn ich diese Wahrscheinlichkeit jetzt

z . B

. für 6 Erfolge mit dem Binomialkoeffizienten ausrechne, also

40

über

6,

ergibt das

3838380

.
Dann rechne ich

3838380 \cdot {(\frac{6}{40})}^{6} \cdot {(\frac{34}{40})}^{34}

und da kommt

0,17

heraus, was eine Abweichung zu dem Wert ist, der mir mein Taschenrechner anzeigt, nämlich

0,126

.
Ich weiß nicht mehr weiter, das ist bestimmt alles total falsch was ich hier mache!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

KalleMarx aktiv_icon

16:24 Uhr, 21.03.2012

Moin Katharina!

Du hast die Formel für die Binomialverteilung falsch angewendet hast. Es ist doch

B (n; p; k) = (\binom{n}{k}) \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k}

.

Deine Rechnung für sechs Erfolge hast Du ja aufgeschrieben und da sieht man, wo Dein Fehler liegt: Du hast für

p

den Quotienten

\frac{Anzahl der Erfolge}{Anzahl der Versuche}

gesetzt. Das ist aber nicht korrekt! Dann würde sich ja

p

in Abhängigkeit von

k

ändern, was aber der Definition der Binomialverteilung widerspricht.

p

ist die konstante Erfolgswahrscheinlichkeit und in Deinem Falle

p = 0, 2

.

Für acht Erfolge hat man also:

B (40; 0, 2; 8) = (\binom{40}{8}) \cdot 0, 2^{8} \cdot 0, 8^{32} \approx 0, 15598

und für sechs Erfolge:

B (40; 0, 2; 6) = (\binom{40}{6}) \cdot 0, 2^{6} \cdot 0, 8^{34} \approx 0, 12456

.

Was siehst Du, wenn Du das nun auch noch für sieben, neun und zehn Erfolge berechnest?

Katharina-

16:45 Uhr, 21.03.2012

Ah, da lag der Fehler, danke!
Also je mehr Erfolge es gibt, umso geringer ist die Wahrscheinlichkeit, denn bei

10

Erfolgen ist die Wahrscheinlichkeit nur noch

0,1078

oder?

KalleMarx aktiv_icon

16:57 Uhr, 21.03.2012

So in etwa. Dein Wert für

B (40; 0, 2; 10)

ist korrekt.

Aber Deine Aussage: "Also je mehr Erfolge es gibt, umso geringer ist die Wahrscheinlichkeit." ist es nicht.
Du hast doch berechnet, daß die Wahrscheinlichkeit für acht Erfolge höher ist als die für sechs oder sieben.
Richtig ist: Die höchste Wahrscheinlichkeit liegt beim Erwartungswert. Alle anderen Erfolgsanzahlen (niedriger und höher) haben geringere Wahrscheinlichkeiten.

Katharina-

17:07 Uhr, 21.03.2012

Alles klar, das habe ich jetzt verstanden. Danke für deine Hilfe!

KalleMarx aktiv_icon

17:09 Uhr, 21.03.2012

Gerne doch! Happy stochasting...

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