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Erwartungswert einer Gleichverteilung

Universität / Fachhochschule

Zufallsvariablen

Tags: Zufallsvariablen

birdbox

22:00 Uhr, 11.11.2017

Ein Dartspieler trifft eine Dartscheibe gleichverteilt. Die Dartscheibe hat einen Radius $R$ und 10 Ringe mit den Grenzradien $k R / 10$ für $k = 1, . . ., 10$ . Für den innersten Kreis ( $k = 1$ ) gibt es 10 Punkte, für den zweiten Ring 9, usw., und für den äußersten 1 Punkt. Berechne Erwartungswert und Varianz der erzielten Punkte eines Wurfs.

Leider habe ich keine Ahnung wie ich hier am besten vorgehen soll, freue mich auf jeden Tipp!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

22:31 Uhr, 11.11.2017

Die W-keit einer Zahl ist die Fläche des entsprechenden Rings geteilt durch die Gesamtfläche der Scheibe.
Also brauchst Du diese Formel für die Fläche:
de.wikipedia.org/wiki/Kreisring

birdbox

11:10 Uhr, 12.11.2017

Vielen Dank für deine Antwort.

Das heißt also $A = π \cdot (R^{2} - r^{2})$

Dann wäre ja die Wahrscheinlichkeit für $k = 1$ bzw. Punkte=1: $\frac{π \cdot [R^{2} - (1 \cdot \frac{R}{10})^{2}]}{π \cdot R^{2}} = \frac{1 - 1^{2} \cdot \frac{1}{100}}{1} = 0.99$
und für $k = 10$ wäre es dann $0$ .

Das kann aber nicht sein?

anonymous

11:24 Uhr, 12.11.2017

Hallo
Vielleicht malst du dir mal die Darts-Scheibe als Skizze auf ein Stück Papier.

Mit $' k = 1'$ meinst du vermutlich den innersten Kreis.
$>$ Wie groß ist dessen Radius?
$>$ Wie groß ist dessen Fläche?
$>$ Wie groß ist das Verhältnis dessen Fläche zur Gesamtfläche?
$>$ Wie viele Punkte bekommst du für diesen Dartswurf?

DrBoogie aktiv_icon

11:42 Uhr, 12.11.2017

"Dann wäre ja die Wahrscheinlichkeit für"

Nein, für $k = 1$ hat man $\frac{π (R / 10)^{2}}{π R^{2}} = 0.01$ , denn $k = 1$ entspricht dem inneren Kreis, da braucht man keine Formel für Kreisring.
Dann für $k = 2$ hat man den kleinsten Ring und die W-keit $\frac{π (2 R / 10)^{2} - π (R / 10)^{2}}{π R^{2}} = 0.03$ .
Für $k = 3$ entsprechend $\frac{π (3 R / 10)^{2} - π (2 R / 10)^{2}}{π R^{2}} = 0.05$ usw.

birdbox

14:51 Uhr, 12.11.2017

Ups, ja ich habe genau falsch herum gedacht, aufzeichnen hilft!

Wenn $k = 1$ , dann ist die Wahrscheinlichkeit $0.01$ und die Punkte sind 10, usw.
Kann ich jetzt sagen, dass "Punkte" meine Zufallsvariable $X$ ist und somit dann den Erwartungswert ausrechnen?

Also $P (X = 10) = 0.01$ , $P (X = 9) = 0.03$ , usw.
Und $E (X) = 10 \cdot 0.01 + . . . + 1 \cdot 0.19 = 3.85$

Dürfte so passen oder?

DrBoogie aktiv_icon

15:17 Uhr, 12.11.2017

Ja, das ist OK.

birdbox

15:19 Uhr, 12.11.2017

Vielen Dank, ihr habt mir sehr geholfen!!

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