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Erwartungswert einer Normalverteilung bestimmen

Universität / Fachhochschule

Verteilungsfunktionen

Tags: Erwartungswert, Normalverteilung, Verteilungsfunktion

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12:48 Uhr, 28.10.2020

Liebe Community,

Ich habe ein Problem bei einem Beispiel:

"In einer Fertigungsanlage werden Leiterplatten erzeugt. Die Längen einer Leiterplatte ist normalverteilt mit µ

= 52.3

mm. Abweichungen von bis zu

\pm 0.9

mm vom Erwartungswert werden toleriert, der Rest gilz als Ausschuss und wird aussortiert.

i)

Berechnen Sie für eine Standardabweichung von

0.5

mm die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Leiterplatte aussortiert wird.

ii) Berechnen Sie, wie groß die Standardabweichung sein müsste, damit der Ausschussanteil

2 %

bertägt.

iii) Auf welchen Sollwert des Erwartungswertes müsste die Anlage eingestellt sein, damit bei einer Standardabweichung von

0.5

mm der Ausschussanteil nur

2 %

beträgt?"

Die Aufgaben

i)

und ii) konnte ich leicht über die standartiesierte Normalverteilung lösen (Ja, wir sollen die tabelle der standartiesierte NV verwenden).

Bei Aufgabe iii) habe ich leider Probleme. Ich interetiere es so, dass der Kunde Leiterplatten von der Größe zwischen

51.4

mm und

53.2

mm annimmt und der Rest dann Ausschuss ist. Die Maschinen lassen ihre Genauigkeit nicht regeln (Standardabweichung bleibt gleich) aber den Erwartungswert kann man einstellen. Der Ausschuss soll

2 %

betragen, also habe ich

98 %

zwischen

x 1 = 51.4

mm und

x 2 = 53.2

mm. Allerdings muss nicht gelten:

P (X < 51.4) = 0.1

und

P (X > 53.2) = 0.1

. Also:

z 1 = - z 2

muss nicht gelten. Daher kann ich es nicht wie die Aufgaben

i)

und ii) behandeln. Ich glaube, da brauche ich eine andere Verteilung, oder? Habt ihr Vorschläge?

Herzlichen Dank!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

13:14 Uhr, 28.10.2020

Du brauchst

μ

so, dass

P (51.4 < X < 53.2) = 0.98

.
Aber

P (51.4 < X < 53.2) = P (\frac{51.4 - μ}{0.5} < \frac{X - μ}{0.5} < \frac{53.2 - μ}{0.5})

und

\frac{X - μ}{0.5}

ist standardnormalverteilt.
Weiter

P (\frac{51.4 - μ}{0.5} < \frac{X - μ}{0.5} < \frac{53.2 - μ}{0.5}) = P (\frac{X - μ}{0.5} < \frac{53.2 - μ}{0.5}) - P (\frac{X - μ}{0.5} < \frac{51.4 - μ}{0.5}) = Φ (\frac{53.2 - μ}{0.5}) - Φ (\frac{51.4 - μ}{0.5})

und das muss jetzt

0.98

sein.
Das kann man wohl nicht analytisch lösen, aber

μ = 51.62

passt schon relativ genau.

deLucem aktiv_icon

13:50 Uhr, 28.10.2020

Ähm, nein, das passt nicht!?

DrBoogie aktiv_icon

13:59 Uhr, 28.10.2020

Ah, sorry, Vorzeichenfehler. :-)
Aber wenn du so ein cooles Tool hast, kannst du natürlich auch selbst die Lösung finden.
Ich habe hier mit Zahlen rumgespielt: www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/normalverteilung1.htm
und es so aus, dass man 98% nicht erreichen kann, das Maximum liegt bei 52.3 und ist 92.814%.

Vielleicht ist diese Interpretation falsch:
"Ich interetiere es so, dass der Kunde Leiterplatten von der Größe zwischen 51.4 mm und 53.2 mm annimmt und der Rest dann Ausschuss ist."

deLucem aktiv_icon

14:12 Uhr, 28.10.2020

Ja, ich habe jetzt auch versucht rumzuspielen aber es klappt nicht. Eine andere sinnvolle Interpretation von dem Bsp. fällt mir leider nicht ein. Habt ihr Vorschläge?

DrBoogie aktiv_icon

14:27 Uhr, 28.10.2020

Leider verstehe ich nicht, was gemeint sein könnte

deLucem aktiv_icon

14:34 Uhr, 28.10.2020

Okay, danke für deine Zeit :-)

HAL9000

11:49 Uhr, 29.10.2020

Ich halte das ganze für eine Fangfrage: Bei i) kommt ja als Ausschussanteil

2 (1 - Φ (1.8)) \approx 7.2 %

heraus, und das bei "mittiger" Justierung der Maschine, d.h., Erwartungswert entspricht Mitte des Gutintervalls.

Verschiebt man nun diese Justierung auf außerhalb dieser Mitte bei gleichbleibender Standardabweichung, dann wird der Ausschussanteil allenfalls GRÖSSER als diese 7.2%, und zwar egal in welche der beiden Richtungen man verschiebt! Das Ziel 2% ist somit unter diesen Rahmenbedingungen überhaupt nicht erreichbar!

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