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Erwartungswert einer Verteilungsfunktion bestimmen

Universität / Fachhochschule

Erwartungswert

Tags: Erwartungswert, Stochastik

Mathe-Niete20

20:27 Uhr, 24.07.2022

Sehr geehrte Damen und Herren,

ich benötige Hilfe bei folgender Aufgabe (siehe Bild). Dies ist eine Aufgabe aus einer Altklausur und es geht mir darum, den Lösungsweg zu verstehen, wenn also jemand diesen vorrechnen könnte, wäre ich sehr dankbar.

Im Skript steht

E [X] = x 1 P (X = x 1) + x 2 P (X = x 2)

. Ich verstehe aber gerade nicht, was ich wo einsetzen soll.

Ich bin jeder Hilfe sehr dankbar.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

pivot aktiv_icon

21:08 Uhr, 24.07.2022

Hallo,

das sieht mir nach einer unvollständigen Definition des Erwartungswertes einer

\underline{diskreten}

Zufallsvariablen aus.

Bei einer

\underline{stetigen}

Zufallsvariable

X

ist der Erwartungswert gleich

E [X] = \int_{- \infty}^{\infty} x \cdot f (x) d x

f (x)

ist die Dichtefunktion. Diese erhälst du indem du

1 - e^{- λ x}

nach

x

ableitest. Da bei dir die Verteilungsfunktion nur für

x < 0

gleich 0 ist, integriert man von 0 bis

\infty

.

Somit ist der Erwartungswert gleich

E [X] = \int_{0}^{\infty} x \cdot f (x) d x = \int_{0}^{\infty} x \cdot λ \cdot e^{- λ x} d x = λ \cdot \int_{0}^{\infty} x \cdot e^{- λ x} d x

Partielle Integration ist hier hilfreich:

\int_{a}^{b} f^{ʹ} (x) \cdot g (x) d x = [f^{ʹ} (x) \cdot g (x)]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} f (x) \cdot g^{ʹ} (x) d x

,

mit

g (x) = x

und

f^{ʹ} (x) = e^{- λ x}

Gruß
pivot

michaL aktiv_icon

21:12 Uhr, 24.07.2022

Hallo,

bei stetigen Zufallsvariablen wird die Summe, die du durch 2 Summanden etwas verkürzt darstellst, zum Integral.

Du hast also zu berechnen:

E (X) = \int_{0}^{\infty} x \cdot (1 - e^{- λ x}) d x

.

Ok: Eigentlich müsstest du von

- \infty

ab integrieren. Da aber die W. für

x < 0

ja Null ist, trägt dieser Bereich zum Erwartungswert nichts bei.

Zugegebenermaßen bin ich bei diesen wirklich grundlegenden Fragen immer ein wenig erstaunt!
Diese Dinge stehen doch nun wirklich überall: de.wikipedia.org/wiki/Erwartungswert#Erwartungswert_einer_reellen_Zufallsvariable_mit_Dichtefunktion (mit wirklich schöner Graphik, warum die Dichtefunktion gerade so heißt)

Was war das Problem, dies mit kurzer Suche selbst herauszufinden?

Mfg Michael

Mathe-Niete20

21:16 Uhr, 24.07.2022

Danke, das hat mir gut geholfen.

pivot aktiv_icon

21:16 Uhr, 24.07.2022

@michaL

Ich glaube du hast nicht die Dichtefunktion verwendet.

michaL aktiv_icon

21:18 Uhr, 24.07.2022

Hallo,

ich muss mich korrigieren. Ich hatte irrtümlich die Verteilungsfunktion als Dichtefunktion angenommen (schrieb das ja auch in meinem posting).

Bitte ignoriere daher mein posting. pivot hat alles nötige dazu gesagt.

Mfg Michael

Mathe-Niete20

21:19 Uhr, 24.07.2022

Trotzdem danke, dass Sie sich Zeit genommen haben.

MfG

HAL9000

21:48 Uhr, 24.07.2022

Für positive Zufallsgrößen (d.h. solche mit

F_{X} (0) = 0

) gibt es auch eine alternative Berechnungsformel für den Erwartungswert basierend auf der Verteilungsfunktion

F_{X}

E (X) = \int_{0}^{\infty} (1 - F_{X} (x)) d x

.

Gilt für beliebige (!) Zufallsgrößen - also insbesondere auch diskrete - ist allerdings so richtig sinnvoll anwendbar dann doch für stetige Zufallsgrößen. Im vorliegenden Fall bedeutet das

E (X) = \int_{0}^{\infty} (1 - (1 - e^{- λ x})) d x = \int_{0}^{\infty} e^{- λ x} d x = {[- \frac{1}{λ} e^{- λ x}]}_{x = 0}^{\infty} = \frac{1}{λ}

Mathe-Niete20

21:51 Uhr, 24.07.2022

Ich danke Ihnen für die Antwort. Sie hat mir sehr geholfen.

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