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Erwartungswert einer Zufallsgröße
Schüler Gymnasium,
Tags: Mittelwert, Wahrscheinlichkeit
 
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Hallo :-), ich komme mit dieser Aufgabe nicht klar: In einem Volleyballturnier treffen zwei gleich starke Mannschaften A und aufeinander. Ein Spiel ist gewonnen, wenn eine Mannschaft drei Sätze zu ihren Gunsten entschieden hat; ein Spiel besteht also aus mindestens drei, höchstens fünf Sätzen. Aus wie vielen Sätzen wird ein solches Spiel im Mittel bestehen? Was ich nicht verstehe ist, warum es aus höchstens fünf Sätzen bestehen soll, weil eine Mannschaft doch nur drei Sätze gewinnen muss und nicht fünf. Ich weiß auch nicht, wie ich den Mittelwert berechnen kann. In meiner Zeichnung im Anhang habe ich ein Baumdiagramm hinzugefügt. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Eine Mannschaft muss 3 Sätze für sich entscheiden. Wenn nun 4 Sätze gespielt sind und jede Mannschaft 2 Sätze gewonnen hat, ist immer noch keine Mannschaft der Sieger. Der 5. und damit letzte Satz entscheidet das Spiel. Da die Anzahl der Sätze gefragt ist und nicht die, welche Mannschaft diese Gewinnt würde ich dir Vorschlagen eine Tabelle zu entwerfen, mit den Wahrscheinlichkeiten, wie viele Sätze denn gespielt werden. Dein bisher gezeichnetes Baumdiagramm kannst Du um 2 weitere Sätze erweitern und als Berechnungshilfe für die Wahrscheinlichkeit der Anzahl der zu spielenden Sätze (3, 4 oder 5) benutzen. |
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Also es gibt dann ja folgende 6 Möglichkeiten: oder? (Wie) kann ich mit diesen Kombinationen weiterrechnen? Wenn ja, wie? |
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Schau nochmal dein Baumdiagramm an. Dort sind bisher nur zwei Blätter, an denen das Spiel wirklich schon beendet ist (nämlich und also die beiden äußeren. Diese tragen dazu bei, dass die Antwort "3 Sätze" mit einer Wahrscheinlichkeit von herauskommt. Die anderen Zweige musst du noch um - mindestens - eine Ebene erweitern. Du findest auf dem Wege die Wahrscheinlichkeiten und . Der Erwartungswert ist am Ende |
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Ah! Das ist wirklich logisch und gut erklärt! Bei Satz 4 müsste ich dann also und bei Satz 5 dann rechnen? Dann kommt als Erwartungswert heraus. Also im Mittel wären das rund 2 Sätze. |
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Das ist ja offenkundig Unsinn! Wenn es stets mindestens dreier Sätze bedarf, kann es doch nicht im Schnitt nur zwei brauchen! Bei dir gilt nicht Schau dir den teilweise um bis zu zwei Ebenen ergänzten Baum bitte nochmal an! Alle außer den äußeren beiden Blättern musst du um eine Ebene erweitern. Von den dann neuen Blättern musst du auch noch einige erweitern. Du erhältst einen Baum mit - wie gesagt - zwei Blättern auf Ebene liefert als sowie ??? Blättern auf Ebene liefert ??? als sowie ??? Blättern auf Ebene liefert ??? als . |
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Okay, ich habe das Baumdiagramm jetzt erweitert. Bei der Ebene 4 sind es 4 Blätter, also und bei Ebene 5 sind es 8 Blätter und das liefert ?? |
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