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Erwartungswert für Poissonverteilung/Herleitung

Universität / Fachhochschule

Erwartungswert

Tags: Herleitung Erwartungswert Poisson

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12:13 Uhr, 04.01.2019

Hallo an Alle,

ich möchte den Erwartungswert der Possionverteilung herleiten (ist ja bekanntlich

λ

E (P_{λ} = k) = \sum_{k = 0}^{\infty} k e^{- λ} \frac{λ^{k}}{k!}

ich ziehe jetzt die 0. & 1. Teilsumme aus der Summe zu

E (P_{λ} = k) = λ e^{- λ} \sum_{k = 1}^{\infty} k \frac{λ^{k - 1}}{(k - 1)!}

Und hier bräuchte ich einmal einen Tipp, wie ich das k als Faktor aus der Summe raus bekomme. Denn im nächsten Schritt möchte ich meine Summe mit einer neuen Variable ausstatten, um die Definition von

e^{λ}

zu erzeugen, also:

. . . = λ e^{- λ} \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{λ^{i}}{i!}

Vielen Dank schon mal

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

abakus

12:48 Uhr, 04.01.2019

k \cdot \frac{λ^{k - 1}}{(k - 1)!}

ist die Ableitung von

\frac{λ^{k}}{(k - 1)!}

(und die Ableitung von

e^{λ}

ist wieder

e^{λ}

HAL9000

12:53 Uhr, 04.01.2019

Die Schreibweise

E (P_{λ} = k)

ergibt für mich keinen Sinn (insbesondere das

k

nicht), ich nennen den Erwartungswert einfach mal

E_{λ}

. Dann verstehe ich deine zweite Formel nicht, denn nach dem Herausziehen steht ja erstmal nur da

E_{λ} = \sum_{k = 0}^{\infty} k e^{- λ} \frac{λ^{k}}{k!} = λ e^{- λ} \sum_{k = 1}^{\infty} k \frac{λ^{k - 1}}{k!}

Und nun wird via

\frac{k}{k!} = \frac{k}{k \cdot (k - 1)!} = \frac{1}{(k - 1)!}

gekürzt, was für

k \geq 1

legitim ist. Anschließend findet noch eine Indexverschiebung

i = k - 1

statt:

E_{λ} = λ e^{- λ} \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{λ^{k - 1}}{(k - 1)!} = λ e^{- λ} \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{λ^{i}}{i!}

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13:42 Uhr, 04.01.2019

Danke für deine Antwort HAL9000,

ich fand es so weit ganz schlüssig, aber habe noch eine Erläuterung. Kannst ja noch mal schreiben was du davon hältst:

Der Erwartungswert ist doch definiert als

E (X) = \sum_{x \in X (Ω)} x P (X = x)

, wobei

P

das Wahrscheinlichkeitsmaß und

X

eine Zufallsgröße. Die Possionverteilung

P o i_{λ} (k) = e^{- λ} \frac{λ^{k}}{k!}

(an der Stelle fehlt mir hier im Editor ein Schriftfont - darum

P o i

)

Ich habe es vorhin so geschrieben:

E (P_{λ} = k) = . . .

aufgeschrieben
meinte aber

E (P o i_{λ} = k)

, um zu sagen das k der Parameter ist und

P o i

die Zufallsgröße.

HAL9000

14:08 Uhr, 04.01.2019

Der Parameter dieser deiner Poissonverteilung ist nicht

k

, sondern

λ

. Die Variable

k

taucht hier nur als Laufindex der Summe auf und kennzeichnet aktuell den Wert, den die Zufallsgröße da annimmt, sie ist damit kein kennzeichnender Parameter dieser Verteilung. Das meinte ich damit, dass ich ihr Auftauchen in deiner Erwartungswertsymbolik als höchst befremdlich empfinde - da hat dieses

k

nun wirklich überhaupt nichts zu suchen!

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14:37 Uhr, 05.01.2019

Mh, ok. Ich werde nochmal drüber nachdenken, aber danke dir schonmal für deine Hilfe.

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