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Erwartungswert für eine Serie bei Kopf/Zahl

Universität / Fachhochschule

Erwartungswert

Tags: Erwartungswert

anonymous

12:59 Uhr, 02.10.2011

Hallo,
es geht um das altbekannte Kopf oder Zahl-Spiel.
1.Wie kommt man darauf, dass der Erwartungswert der ersten, zweiten, dritten, usw. reinen Serie stets 2 beträgt?

2. Man geht davon aus, dass es sich um eine nicht ideale Münze handelt. Die Wahrscheinlichkeit, Kopf zu erhalten, ist gleich

p (0 < p < 1)

. Wieso ist der Erwartungswert der Länge der ersten, dritten, fünften, und jeder weiteren übernächsten Serie gleich

\frac{p}{q} + \frac{q}{p}

und der der zweiten, vierten, usw. immer 2?

Wäre für schnelle Hilfe sehr dankbar.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Gerd30.1 aktiv_icon

09:36 Uhr, 03.10.2011

Was ist denn eine "reine Serie" von

n

Würfen??

Mauthagoras aktiv_icon

18:31 Uhr, 03.10.2011

Hallo,

@gerdware: das bedeutet, dass

n

mal hintereinander das gleiche geworfen wird.

Für die erste Frage habe ich eine Lösung gefunden. Dafür muss aber

p \in (0, 1)

beliebig sein und wir setzen am Ende einfach

p = \frac{1}{2}

.
Sei

X

die Zufallsvariable, die die Länge einer Serie beschreibt, also

X \in ℕ

, wobei wir jetzt Kopf- Serien betrachten mit

ℙ („Kopf“) = p .

Dann gilt

E (X) = \sum_{n = 1}^{\infty} n ℙ (X = n)

= \sum_{n = 1}^{\infty} n p^{n}

= p \sum_{n = 1}^{\infty} n p^{n - 1}

= p \frac{d}{d p} (\sum_{n = 1}^{\infty} p^{n})

= p \frac{d}{d p} (\frac{1}{1 - p} - 1)

(geometrische Reihe)

= \frac{p}{(1 - p)^{2}}

.
Setzt man nun

p = \frac{1}{2}

ein, so folgt

E (X) = \frac{1 / 2}{1 / 4} = 2

anonymous

12:17 Uhr, 04.10.2011

Und einfacher gehts nicht?
Ich hätte zur ersten Frage einfach gesagt, dann man davon ausgeht, dass

z . B

schon einmal Kopf gefallen ist. Dann beträgt die Wahrscheinlichkeit für ein weiteres Mal Kopf wieder

\frac{1}{2}

. Also ist der Erwartungswert 2. Nur das zweite Problem ist noch komplexer.

Mauthagoras aktiv_icon

13:46 Uhr, 04.10.2011

Vielleicht schon, aber dann musst Du mir Deine Erklärung noch mal erläutern. „Also ist der Erwartungswert 2“ sehe ich nicht. Wie kommt man von Deiner Überlegung darauf, dass eine Serie im Mittel die Länge 2 hat?

anonymous

11:18 Uhr, 05.10.2011

Nach dem ersten Wurf von Kopf ist die Wahrscheinlichkeit

\frac{1}{2},

dass wieder Kopf kommt und auch

\frac{1}{2},

dass Zahl eintritt. Das heißt, in jedem zweiten Wurf gehts weiter, und in jedem zweiten eben nicht. So sicher bin ich mir da nicht mit meiner Argumentation.

Mauthagoras aktiv_icon

11:27 Uhr, 05.10.2011

Unter der Bedingung, dass gerade eben „Kopf“ geworfen wurde, kann nun genauso gut „Kopf“ wie „Zahl“ geworfen werden, also ist es gleich wahrscheinlich, dass die Serie die Länge 1 oder 2 hat. Der Erwartungswert wäre dann, wegen Gleichwahrscheinlichkeit, doch aber

\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 2 = 1.5

, oder? Man kommt nicht auf 2. Ich denke, dass die Bedingung am Anfang das Problem ist: Die Frage lautet ja: „Wie lang wird eine Serie im Mittel sein?“ und nicht „Wie lang wird eine Serie werden, die schon angefangen hat?“.
Nichtsdestotrotz vermute ich aber auch, dass es noch einfacher gehen sollte als mit meiner Rechnung oben.

anonymous

16:41 Uhr, 05.10.2011

OK, dein Einwand ist schon verständlich.
Hast du denn eine Idee zum zweiten Problem?

gast01 aktiv_icon

23:21 Uhr, 05.10.2011

hallo,

leider kann ich nichts Vernünftiges beitragen. Kleine Anmerkung/Frage zu obiger Lösung der 1) von Mauthagoras: Die Rechnung ist so wohl nur für

p = 1 / 2

korrekt. Allgemein für

p \in (0, 1)

wäre ja

P (X = n) = p^{n} (1 - p) + (1 - p)^{n} p

und das ist eben nur für

p = 1 / 2

genau

p^{n}

?!

Die zweite Aufgabe ist mir so nicht ganz klar. Wie soll der Erwartungswert der geraden Serien erneut

2

ergeben, wenn doch bereits für

p = 1 / 2

gerade und ungerade zusammen

2

ergeben? Wo liegt mein Denkfehler? Falls hier ne Lösung bekannt ist/wird, wäre ich an derer auch interessiert.

gruß

anonymous

13:54 Uhr, 06.10.2011

Nicht gerade und ungerade ergeben zusammen

2,

sondern die erste Serie hat den Erwartungswert

\frac{p}{q} + \frac{q}{p},

die zweite den Erwartungswert

2,

usw.
Bei der 1. hat jede Serie den Erwartungswert 2.

Hat einer noch eine Idee zur. 2? Wäre wirklich sehr wichtig.

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