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Erwartungswert logarithmische Verteilung

Universität / Fachhochschule

Verteilungsfunktionen

Tags: Erwartungswert, logarithmisch, logarithmische Verteilung, Logarithmus, Statistik, Verteilungsfunktion

anonymous

11:36 Uhr, 24.01.2019

Hallo zusammen,

ich sitze nun schon etwas länger an einer alten Klausuraufgabe und verstehe den Lösungsweg nicht so wirklich.

Die Aufgabe lautet:

Eine Versicherung modelliert die zufällige Anzahl von Verkehrsunfällen auf einer bestimmten Bundesstraße mit Hilfe einer logarithmischen Verteilung. Eine Zufallsvariable

X

ist logarithmisch verteilt mit Parameter

p \in (0,1),

wenn

P (X = k) = C_{p} \cdot \frac{p^{k}}{k}, k \in ℕ

gilt, wobei

C_{p} = \frac{1}{- ln (1 - p)}

und

ln (x)

den natürlichen Logarithmus von

x

bezeichnet.

Berechnen Sie den Erwartungswert

E (X)

der Zufallsvariablen X.

Lösungsweg, den ich habe:

E (X) = \sum_{k = 1}^{\infty} C_{p} \frac{p^{k}}{k}

= C_{p} \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{p^{k}}{k}

= C_{p} \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{p^{k + 1}}{k + 1}

(Bis hierhin verstehe ich alles)

= C_{p} p \sum_{k = 0}^{\infty} p^{k} \cdot \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k}

(ab hier nicht mehr: woher kommt das

p

vor der ersten Summe, wo ist das

+ 1

aus dem Exponenten des Zählers hin und wie wird die Summe auseinander gezogen, ich bin davon ausgegangen, dass dies nur bei einer Addition geht? Resultiert

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k}

aus einer erneuten Indexverschiebung von

\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{k + 1}

= C_{p} \cdot p \cdot \frac{1}{1 - p} = C_{p} \frac{p}{1 - p}

(wo ist das

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k}

hin? Resultiert

\frac{1}{1 - p}

daraus, dass es sich bei

\sum_{k = 0}^{\infty} p^{k}

um eine unendliche geometrische Reihe handelt?)

Ich stehe momentan ziemlich auf dem Schlauch und sitze nun schon viel zu lange an dieser Aufgabe und übersehe sicherlich etwas ziemlich eindeutiges. Ich hoffe ihr könnt mir helfen!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Logarithmusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechnen mit Logarithmen

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Logarithmusgesetze - Einführung

HAL9000

11:49 Uhr, 24.01.2019

\sum_{k = 1}^{\infty} C_{p} \frac{p^{k}}{k} = 1

ist die Gesamtwahrscheinlichkeit, nicht der Erwartungswert!

Letzterer berechnet sich gemäß

E (X) = \sum_{k = 1}^{\infty} k \cdot C_{p} \frac{p^{k}}{k} = C_{p} \cdot \sum_{k = 1}^{\infty} p^{k}

.

P.S.: Von diesem Fehler im Ansatz mal abgesehen ist insbesondere dein in der weiteren Rechnung genutztes

\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{p^{k + 1}}{k + 1} \overset{? ? ?}{=} \sum_{k = 0}^{\infty} p^{k + 1} \cdot \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{k + 1}

ein Riesenunfug: Es gibt KEINE solche Regel, dass die Reihe über Produkte gleich dem Produkt der Reihen über die Faktoren ist!

anonymous

12:02 Uhr, 24.01.2019

Vielen Dank für deine Antwort, die von dir genannte Lösung leuchtet mir ein und erklärt, warum die "Lösung" so verwirrend war.

P . S

. Wie bereits eingangs geschrieben handelt es sich hier nicht um meinen eigenen Lösungsweg, sondern um einen Lösungsweg der mir vorliegt, ansonsten hätte ich ja auch keine Verständnisprobleme mit der Lösung.

HAL9000

13:22 Uhr, 24.01.2019

> Wie bereits eingangs geschrieben handelt es sich hier nicht um meinen eigenen Lösungsweg, sondern um einen Lösungsweg der mir vorliegt

Und den willst du richtig wiedergegeben haben? Das bezweifle ich, denn wenn die wirklich so falsch gerechnet hätten, wieso kommen sie dann plötzlich mit der Zeile

= C_{p} \cdot p \cdot \frac{1}{1 - p} = C_{p} \frac{p}{1 - p}

wieder (in dem Fall völlig unerwartet) in die richtige Spur? Soviel Glück gibt es nicht.

anonymous

14:57 Uhr, 24.01.2019

Ich habe keineswegs behauptet, dass dies der Lösungsweg einer Musterlösung ist, sondern einfach ein Lösungsweg (eines anderen Studenten) der mir vorliegt. Ich bin ursprünglich davon ausgegangen, dass dieser korrekt ist. Hätte ich es besser gewusst, hätte ich die Frage hier wohl kaum gestellt. ;-)

Nochmal, warum sollte ich Verständnisprobleme mit meinem eigenen Lösungsweg haben? Dann hätte ich doch einfach gar keinen sondern ggf. nur die Musterlösung?

Es erschließt sich mir jedenfalls nicht ganz, warum direkt so aggressiv und unfreundlich reagiert werden muss, wenn lediglich um Hilfe fragt wird, aber vielen Dank für deine Antwort. Dieser Thread ist nun erledigt und kann geschlossen werden.

HAL9000

15:39 Uhr, 24.01.2019

Ich versuche ja nur diesen seltsamen von dir angeführten Lösungsweg zu verstehen: Erst grottige Fehler, und dann taucht wie aus dem Nichts kurz vor Schluss das richtige Resultat auf - so als wäre der Lösungsweg von mehreren Autoren zusammengestückelt. Was ist denn daran aggressiv, wenn man das zu verstehen versucht? Deine wütende Reaktion klingt für mich eher wie die eines ertappten.

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