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Erwartungswert n-Große Permutation

Universität / Fachhochschule

Erwartungswert

Tags: Erwartungswert, Indikatorfunktion, permutation, Zufallsvariable

 
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Kathi18

Kathi18 aktiv_icon

19:11 Uhr, 23.11.2022

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Hallo Leute,

Ich wollte fragen wie man bei folgender Aufgabe Indikator-Zufallsvariablen benutzen muss, um auf die Lösung der Aufgabenteile b,c,d zu kommen. Bzw. vll am Beispiel von b, den Rest kann ich mir dann hoffentlich selbst erschließen.

Aufgabenteil a habe ich mit P(X)=n-1(n2) hoffentlich richtig gelöst.


Viele Grüße, Katharina




Bildschirmfoto 2022-11-23 um 18.52.47

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Antwort
HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

20:17 Uhr, 23.11.2022

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a) ist richtig, der Lösungsterm schreit aber nach Vereinfachung: 2n

Eine naheliegende passende Indikator-Zufallsvariable für dieses Problem ist

Xi,j={1 falls (i,j) passend0 sonst

für beliebige 1i<jn.


Bei b) ist dann beispielsweise E[i=1n-1Xi,i+1] gesucht, bei c) hingegen E[i=1n-1j=i+1nXi,j].

Für d) kann man etwa zusätzlich die Indikatorfunktion

Yi={1 falls A[i]i0 sonst

einführen, dann wäre dort E[i=1n-1j=i+1nXi,jYi] gesucht.


Noch eine kleine Hilfsrechnung zur Bestimmung der Ergebnisse b)c)d):

Es ist E[Xi,j]=nn(n-1)=1n-1 sowie E[Xi,jYi]=in(n-1).

Beide Werte beruhen darauf, dass es genau n(n-1) gleichwahrscheinliche geordnete Paare (A[i],A[j]) gibt. Zu jedem der n (bzw. nur i) möglichen Werte A[i] gibt es aber nur jeweils genau einen (!) passenden Wert A[j] mit A[i]+A[j]=n+1, was übrigens entscheidend damit zusammenhängt, dass n als gerade vorausgesetzt wird:

Für ungerade n hat man ein Problem im Fall A[i]=n+12: Dort gibt es nämlich kein passendes A[j], weil A[i]+A[j]=n+1 ja dann auch A[j]=n+12 erfordern würde, aber innerhalb einer Permutation ist selbstredend A[i]=A[j] unzulässig. Dennoch ist natürlich auch hier die Erwartungswertrechnung möglich, aber sie fällt eben etwas anders aus.
Frage beantwortet
Kathi18

Kathi18 aktiv_icon

20:04 Uhr, 24.11.2022

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Hey nochmal vielen Dank für den Nachtrag, das hat mir sehr geholfen :-D).

LG, Kathi