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Erwartungswert n-Große Permutation

Universität / Fachhochschule

19:11 Uhr, 23.11.2022

Hallo Leute,

Ich wollte fragen wie man bei folgender Aufgabe Indikator-Zufallsvariablen benutzen muss, um auf die Lösung der Aufgabenteile

b, c, d

zu kommen. Bzw. vll am Beispiel von

b,

den Rest kann ich mir dann hoffentlich selbst erschließen.

Aufgabenteil a habe ich mit

P (X) = \frac{n - 1}{(\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix})}

hoffentlich richtig gelöst.

Viele Grüße, Katharina

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

20:17 Uhr, 23.11.2022

a) ist richtig, der Lösungsterm schreit aber nach Vereinfachung:

\frac{2}{n}

Eine naheliegende passende Indikator-Zufallsvariable für dieses Problem ist

X_{i, j} = {\begin{array}{ll} 1 & falls (i, j) passend \\ 0 & sonst \end{array}

für beliebige

1 \leq i < j \leq n

.

Bei b) ist dann beispielsweise

E [\sum_{i = 1}^{n - 1} X_{i, i + 1}]

gesucht, bei c) hingegen

E [\sum_{i = 1}^{n - 1} \sum_{j = i + 1}^{n} X_{i, j}]

.

Für d) kann man etwa zusätzlich die Indikatorfunktion

Y_{i} = {\begin{array}{ll} 1 & falls A [i] \leq i \\ 0 & sonst \end{array}

einführen, dann wäre dort

E [\sum_{i = 1}^{n - 1} \sum_{j = i + 1}^{n} X_{i, j} \cdot Y_{i}]

gesucht.

Noch eine kleine Hilfsrechnung zur Bestimmung der Ergebnisse b)c)d):

Es ist

E [X_{i, j}] = \frac{n}{n (n - 1)} = \frac{1}{n - 1}

sowie

E [X_{i, j} \cdot Y_{i}] = \frac{i}{n (n - 1)}

.

Beide Werte beruhen darauf, dass es genau

n (n - 1)

gleichwahrscheinliche geordnete Paare

(A [i], A [j])

gibt. Zu jedem der

n

(bzw. nur

i

) möglichen Werte

A [i]

gibt es aber nur jeweils genau einen (!) passenden Wert

A [j]

mit

A [i] + A [j] = n + 1

, was übrigens entscheidend damit zusammenhängt, dass

n

als gerade vorausgesetzt wird:

Für ungerade

n

hat man ein Problem im Fall

A [i] = \frac{n + 1}{2}

: Dort gibt es nämlich kein passendes

A [j]

, weil

A [i] + A [j] = n + 1

ja dann auch

A [j] = \frac{n + 1}{2}

erfordern würde, aber innerhalb einer Permutation ist selbstredend

A [i] = A [j]

unzulässig. Dennoch ist natürlich auch hier die Erwartungswertrechnung möglich, aber sie fällt eben etwas anders aus.

20:04 Uhr, 24.11.2022

Hey nochmal vielen Dank für den Nachtrag, das hat mir sehr geholfen :-D).

LG, Kathi

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