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Erwartungswert, p-quantil

Universität / Fachhochschule

Erwartungswert

Verteilungsfunktionen

Wahrscheinlichkeitsmaß

Zufallsvariablen

Tags: Verteilungsfunktion, Wahrscheinlichkeitsmaß, Zufallsvariablen

anonymous

12:20 Uhr, 09.06.2021

Sei

X

eine stetige Zufallsvariable mit der Dichtefunktion
fX(x)

= | 1

−

x | 1_{(0,2)} (x)

.
Berechnen Sie den Erwartungswert, die Varianz sowie das p−Quantil der Zufallsvariable X. Bestimmen
Sie ferner

P (| X

−

1 | < 0, 5)

mit Hilfe der Verteilungsfunktion.

Den erwartungswert habe ich so bestimmt:
Integral(0 bis

2) x \cdot | 1 - x |,

da habe ich da sintegral eingeteilt, also: integral(0 bis 1)x*(1-x)-integral(1 bis

2) x \cdot (1 - x) = 1

So ähnlich müsste man dann die varianz bestimmen, diese ist Var(x)=

0.5,

bei dem p-quantil und

P (| X - 1 | < 0.5)

weiß ich nicht ganz weiter.

Würde mich über jegliche Hilfe/Korrektur freuen!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

13:15 Uhr, 09.06.2021

p

-Quantil

q_{p}

erfüllt ja

\int_{0}^{q_{p}} f_{X} (x) = p

. Das musst du halt nach

q_{p}

auflösen.
Wenn

q < 0.5

kommt es auf

\int_{0}^{q_{p}} (1 - x) d x = p

bzw.

q_{p} - 0.5 q_{p}^{2} = p

.
Bei

q > 0.5

auf

\int_{0}^{1} (1 - x) d x + \int_{1}^{q_{p}} (x - 1) d x = p

P (∣ X - 1 ∣ < 0.5)

ist dasselbe wie

P (- 0.5 < X - 1 < 0.5)

bzw.

P (0.5 < X < 1.5) = \int_{0.5}^{1.5} f_{X} (x) d x

anonymous

13:23 Uhr, 09.06.2021

Danke, sind meine vorherigen Rechnungen also korrekt?

DrBoogie aktiv_icon

13:35 Uhr, 09.06.2021

Der EW ist offensichtlich

1

, einfach aus Symmetrie.
Varianz zu berechnen bin ich zu faul.

anonymous

13:43 Uhr, 09.06.2021

Ok danke schön

HAL9000

14:02 Uhr, 09.06.2021

Man kann auch die zugehörige Verteilungsfunktion hier angeben, die ist

F_{X} (x) = {\begin{array}{ll} 0 & für x \leq 0 \\ \frac{1}{2} (1 - {(1 - x)}^{2}) & für 0 \leq x \leq 1 \\ \frac{1}{2} (1 + {(1 - x)}^{2}) & für 1 \leq x \leq 2 \\ 1 & für x \geq 2 \end{array}

.

Zumindest für

0 \leq x \leq 2

könnte man das auch in der geschlossenen Form

F_{X} (x) = \frac{1}{2} (1 - ∣ 1 - x ∣ \cdot (1 - x))

schreiben.

Varianz

\frac{1}{2}

ist richtig.

anonymous

14:05 Uhr, 09.06.2021

Danke schön, war aber glaube ich nicht unbedingt nötig mit der Verteilungsfunktion :-)

anonymous

14:05 Uhr, 09.06.2021

Danke schön, war aber glaube ich nicht unbedingt nötig mit der Verteilungsfunktion :-)

anonymous

14:05 Uhr, 09.06.2021

Danke schön, war aber glaube ich nicht unbedingt nötig mit der Verteilungsfunktion :-)
Edit: wollte es nicht 3 mal senden, weiß nicht warum das passiert ist, sorry

HAL9000

14:22 Uhr, 09.06.2021

> Bestimmen Sie ferner

P (∣ X - 1 ∣ < 0.5)

mit Hilfe der Verteilungsfunktion.

P (∣ X - 1 ∣ < 0.5) = P (0.5 < X < 1.5) = F_{X} (1.5) - F_{X} (0.5)

anonymous

14:27 Uhr, 09.06.2021

oh stimmt, danke

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