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Erwartungswert und Varianz

Schüler Gymnasium,

Tags: Wahrscheinlichkeit

Minah aktiv_icon

17:39 Uhr, 13.05.2016

Die Aufgabe lautet wie folgt: Das nebenstehend abgebildete Glücksrad wird zweimal gedreht. Man erhält so viel ausbezahlt wie die Zahl am Rand des jeweiligen Sektor angibt. Es sei

P

das Produkt der Gewinnbeträge. Berechne

E (P)

und

V (P)

und das Glücksrad ist ein 3 geteiltes Rad bei dem man 1€ mit

16

Chance gewinnt, 2€ mit Chance von

12

und 4€ mit ner Chance von

13

E (P)

habe ich folgendermaßen ausgerechnet:

E (P) = a_{1} \cdot p_{1} + ... + a_{3} \cdot p_{3} = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{2} + 4 \cdot \frac{1}{3} = 2,5

Da das Rad zweimal gedreht wird, rechnete ich

E (P) \cdot E (P) = 6,25

Aber jetzt strauchle ich beim Ausrechnen der Varianz. Ich kenne zwar die Formel:

V (P) = a 1_{^} 2 \cdot p_{1} + ... + a_{3}^{2} \cdot p_{3} - {(E (P))}^{2}

Aber wenn ich für

a, p

und

E (P)

die Werte einsetze, kommt nicht das Ergebnis heraus, das herauskommen sollte. Hier meine verschiedenen Lösungsansätze:

1) V (P) = 1^{2} \cdot \frac{1}{6} + 2^{2} \cdot \frac{1}{2} + 4^{2} \cdot \frac{1}{3} - {6,25}^{2} = - 31,5625

2) V (P) = 1^{2} \cdot \frac{1}{6} + 2^{2} \cdot \frac{1}{2} + 4^{2} \cdot \frac{1}{3} - {2,5}^{2} = 1,25 \Rightarrow V (P) \cdot V (P) = 1,5625

3) V (P) = 1^{2} \cdot \frac{2}{6} + 2^{2} \cdot \frac{2}{2} + 4^{2} \cdot \frac{2}{3} - {2,5}^{2} = 8,75 \Rightarrow V (P) \cdot V (P) = 76,5625

4) V (P) = 1^{2} \cdot \frac{2}{6} + 2^{2} \cdot \frac{2}{2} + 4^{2} \cdot \frac{2}{3} - {6,25}^{2} = - 24,0625

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Roman-22

20:24 Uhr, 13.05.2016

Du verwirrst dich, indem du nicht beachtest, was dein

P

eigentlich darstellt.

Laut Angabe ist

P

das Produkt der beiden Gewinne bei zweimaligem drehen des Rades.
Dein

E (P)) ... = 2,5

ist daher falsch.

2,5

ist der Erwartungswert bei einmaligem Drehen.

Richtig ist

E (P) = 6,25

.

Ähnlich bei der Varianz.

>

kommt nicht das Ergebnis heraus, das herauskommen sollte.
In diesem Fall solltest du immer auch das erwartete Ergebnis angeben - könnte es vl

\frac{275}{16} = 17,1875

sein?

Und ja, es gilt

V (P) = E (P^{2}) - E {(P)}^{2}

Wenn du

E (P^{2})

berechnen willst, musst du eben

P

quadrieren, und was

P

ist, bzw. welche Werte

P

mit welcher Wahrscheinlichkeit annehmen kann, hast du dir noch gar nicht überlegt. Du gehts bei all deinen Berechnungen immer nur vom Gewinn beim einmaligen Drehen des Rades aus.

Überlege also erst, welche Werte

P

überhaupt annehmen kann (es sind 5 verschiedene) und berechne die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten. beachte dabei, dass du

P = 2

auf zwei Arten erzielen kannst,

P = 4

auf vier Arten, usw.

R

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