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Erwartungswert und Varianz einer Zufallsvariable

Universität / Fachhochschule

Erwartungswert

Verteilungsfunktionen

Zufallsvariablen

Tags: Erwartungswert, Verteilungsfunktion, Zufallsvariablen

Yoshi86 aktiv_icon

11:01 Uhr, 12.09.2011

Guten Morgen :-),

ich sitze gerade hier und löse alte Klausur Aufgaben. Bin mir bei Erwartungswert und Varianz berechnen nicht so sicher. DIe Lösung zu der Aufgabe habe ich leider auch nicht

: (

. Deshalb wollte ich mal hier fragen ob Meine Lösung richtig ist.

Also gegeben ist folgendes:

Seien

X

und

Y

stochastisch unabhängige Zufallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum

(Ω, A, P)

.

Weiter gelte

X ~

Poi

(λ)

und

Y ~

Poi

(μ)

mit

λ > 0

und

μ > 0, d . h

. zum Beispiel E(X)=Var(X)=

λ

Bestimmen Sie

(i)

Var

(X - Y)

(ii)

E (X \cdot Y)

(iii) Cov

(X,2 Y - X)

Ich bin wie folgt vorgegangen:

(i)

Var

(X - Y) = {(1)}^{2}

Var

(X) + {(- 1)}^{2}

Var (Y)

= λ + μ

(ii)

E (X \cdot Y) = 1 E (X) \cdot 1 E (Y) = λ \cdot μ = λ μ

(iii) hier bin ich noch am überlegen. ich weiss ja die variablen sind unabhängig, somit auch unkorreliert. Da gabs ne bestimmte Formel, aber find die formel dafür grad nicht. Kann es sein, dass das einfach Cov(X) = Var(X) war?

stimmen die Lösungen? Mir kam das bisschen zu leicht vor, als dass es richtig sein könnte.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ahmedhos aktiv_icon

13:32 Uhr, 12.09.2011

Formel:
http//de.wikipedia.org/wiki/Kovarianz_%28Stochastik%29#Kovarianz_zweier_Zufallsvariablen

Yoshi86 aktiv_icon

14:01 Uhr, 12.09.2011

Den Artikel hatte ich mir schon angeschaut. Aber versteh ich immer noch nicht. Wie sieht das denn mit den Lösungen zur

(i)

und (ii) aus? Stimmen die?

ahmedhos aktiv_icon

14:09 Uhr, 12.09.2011

Wenn

X = X_{1}

und

Y = X_{2}

ist, dann gilt

V a r (X_{1} + (- X_{2})) = V a r (\sum_{i = 1}^{2} X_{i}) = V a r (X_{1}) + V a r (- X_{2})

V a r (- X_{2}) = - V a r (X_{2})

ist, weiß ich nicht.
Siehe:
http//de.wikipedia.org/wiki/Varianz_%28Stochastik%29#Varianz_von_Summen_von_Zufallsvariablen
Formel von Bienaymé

Aber:

V a r (X) = E ({(X - E (X))}^{2})

V a r (- X) = E ({(- X - E (- X))}^{2})

Die Frage ist, ob

- E (X) = E (- X)

? Ja so ist es

. .

. Dann:

V a r (- X) = E ({(- X - E (- X))}^{2}) = E ({(X - E (X))}^{2}) = V a r (X)

Yoshi86 aktiv_icon

14:18 Uhr, 12.09.2011

Mit der Berechnung von Varianz und Erwartungswert habe ich keine Probleme. Trotzdem danke. Es geht sich nur darum, dass diese Aufgabe 7 Punkte Wert war. Als Vergleich war die Berechnung von Median+Quantile+Verteilungsfunktion+Regressionsgerade gerademal 8 Punkte Wert und hat mindestens 3 mal so lange gedauert. Deshalb wundert mich, dass hier nur so wenig zu rechnen war.
Ich brauche einfach nur ne kleine Antwort, ob ich

(i)

und (ii) richtig habe ;-). Haben wie gesagt keine Musterlösungen für die Klausur:/.

ahmedhos aktiv_icon

14:24 Uhr, 12.09.2011

Langsam Cowboy, ich lerne auch gerade für die Klausur und muss Klausuraufgaben bearbeiten.

V a r (X - Y) = V a r (X) + V a r (- Y) = V a r (X) + V a r (Y)

Das ist ganz sicher korrekt durch einfache Anwendung der Formel:

V a r (\sum_{i} a_{i} \cdot X_{i}) = \sum_{i} a_{i}^{2} \cdot V a r (X_{i})

ahmedhos aktiv_icon

14:26 Uhr, 12.09.2011

Nr. 2 ist auch korrekt durch einfache Anwendung der Formel hier:
http//de.wikipedia.org/wiki/Erwartungswert#Erwartungswert_der_Summe_von_n_Zufallsvariablen

E (X \cdot Y \cdot Z) = E (X) \cdot E (Y) \cdot E (Z)

ahmedhos aktiv_icon

14:31 Uhr, 12.09.2011

Was bedeutet Poi?

Yoshi86 aktiv_icon

14:34 Uhr, 12.09.2011

Das ist die Poisson Verteilung ;-).

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