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Erwartungswert von verketteten Zufallsvariablen

Universität / Fachhochschule

Erwartungswert

Zufallsvariablen

Tags: Dichtefunktion, Erwartungswert, Zufallsvariablen

Momfr3d aktiv_icon

10:05 Uhr, 25.01.2018

Gegeben sein

X

eine positive und stetige Zufallsvariable mit Dichte

f_{X}

.

Nun soll ich die Dichte der Zufallsvariablen

Y = \frac{1}{1 + X}

berechnen.

Was ich über Verkettungen weiß ist:

E (g (X)) = \int_{- \infty}^{\infty} g (x) \cdot f_{X} (x) d x

Jedoch hilft mir das ohne weitere Bedingungen nicht weiter.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

13:16 Uhr, 25.01.2018

Geht einfach über Verteilungsfunktion.

F_{Y} (x) = P (Y \leq x) = P (\frac{1}{1 + X} < x) = P (1 + X > \frac{1}{x}) = 1 - P (X \leq \frac{1}{x} - 1) = 1 - \int_{- \infty}^{1 / x - 1} f_{X} (t) d t

.

Daher

f_{Y} (x) = F_{Y}^{ʹ} (x) = - (\frac{1}{x} - 1)^{ʹ} f_{X} (\frac{1}{x} - 1) = \frac{1}{x^{2}} f_{X} (\frac{1}{x} - 1)

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