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Erwartungswert/Varianz (cos(pi*X)-2) berechnen

Universität / Fachhochschule

Erwartungswert

Wahrscheinlichkeitsmaß

Zufallsvariablen

Tags: Erwartungswert, Wahrscheinlichkeitsmaß, Zufallsvariablen

icefox01 aktiv_icon

12:57 Uhr, 15.06.2020

Hallo, ich bräuchte etwas Hilfe bei einer Aufgabe.

Die ZV

X

hat die Dichte

f (x) = x^{2} + c,

falls

0 \leq x \leq 1

und 0 sonst

a)

Bestimmen Sie die Konstante

c

b)

Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz der Zufallsvariable

cos (π X)

− 2.

Meine Lösung bisher:

a)

c

zu bestimmen muss das Integral über die Dichte 1 sein.

\int_{0}^{1} f (x) d x = 1

\Rightarrow \int_{0}^{1} x^{2} + c d x = \frac{x^{3}}{3} + c \cdot x |_{0}^{1} = \frac{1}{3} + c - 0 = 1 \Rightarrow c = \frac{2}{3}

Das sollte passen?

b) E (cos (π X) - 2)

Hier steh ich leider schon an, gilt hier

E (cos (π X) - 2) = E (cos (π X)) - E (2)

?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HAL9000

13:25 Uhr, 15.06.2020

Die Erwartungswertformel

E (X) = \int_{- \infty}^{\infty} x \cdot f_{X} (x) d x

für stetig verteilte Zufallsgrößen

X

mit Dichte

f_{X}

ist weithin bekannt. Hingegen scheint

E (g (X)) = \int_{- \infty}^{\infty} g (x) \cdot f_{X} (x) d x

vielen unbekannt zu sein: Das gilt für alle messbaren Funktionen

g

, für die dieser Erwartunsgwert überhaupt existiert. Das kannst du hier nun auf

g (x) = \cos (π x) - 2

anwenden.

Das -2 vorher abtrennen, wie du es gerade geschrieben hast, geht natürlich auch - in dem Fall musst du dich dann nur noch um

g (x) = \cos (π x)

kümmern.

icefox01 aktiv_icon

16:47 Uhr, 15.06.2020

Hm ok. Ich probier es mal.

E (cos (π X) - 2) = E (cos (π X)) - E (2)

E (2) = 2

E (cos (π X)) = \int_{Ω} cos (π X) d P = \int_{0}^{1} cos (π x) (x^{2} + \frac{2}{3}) d x

= \int_{0}^{1} cos (π x) x^{2} d x + \frac{2}{3} \int_{0}^{1} cos (π x) d x

Würde das soweit passen? Nur damit ich hier nicht umsonst weiterrechne.

g (x)

wäre bei mir jetzt

cos (π X)

und

f_{X} (x)

ist

x^{2} + \frac{2}{3}

HAL9000

17:18 Uhr, 15.06.2020

Ja, genauso ist es.

icefox01 aktiv_icon

08:37 Uhr, 16.06.2020

Ich habe das nun ausgerechnet und werde nicht alle Rechenschritte hier auflisten, da es etwas lang wurde durch das ganze integrieren.

Ich habe dann herausbekommen:

E (cos (π \cdot X) - 2) = - \frac{2}{π^{2}} - 2

Vielleicht könnte das hier jemand bestätigen.

Die Varianz würde ich folgendermaßen berechnen:
Var

(cos (π \cdot X) - 2) = E {(cos (π \cdot X) - 2)}^{2} - {(E (cos (π \cdot X) - 2))}^{2}

E {(cos (π \cdot X) - 2)}^{2} = E ({cos (π \cdot X)}^{2} - 4 \cdot cos (π \cdot X) + 4)

= E ({cos (π \cdot X)}^{2}) - 4 \cdot E cos (π \cdot X) + E 4 = \frac{1}{2} E cos (2 \cdot π \cdot X) + E \frac{1}{2} - 4 \cdot E cos (π \cdot X) + E 4

Funktioniert das so?

HAL9000

09:11 Uhr, 16.06.2020

Du kannst dir die Rechnung erleichtern wenn du berücksichtigst, dass Verschiebungen um eine Konstante die Varianz nicht verändern, d.h.

V (X + c) = V (X)

für alle Konstanten

c

. In dem Sinne ist

V (\cos (π X) - 2) = V (\cos (π X)) = E (\cos^{2} (π X)) - {(E (\cos (π X)))}^{2}

.

Bei der anstehenden Integration sollte

\cos^{2} (π X) = \frac{1 + \cos (2 π X)}{2}

helfen, die ohnehin längliche Rechnung nicht ausufern zu lassen.

Dein

E (\cos (π X) - 2) = - \frac{2}{π^{2}} - 2

ist richtig.

icefox01 aktiv_icon

18:37 Uhr, 16.06.2020

Ok alles klar.

Ich habe die Varianz wie angegeben ausgerechnet und bin auf folgendes gekommen:
Var

(cos (π \cdot X)) = - \frac{4}{π^{4}} - \frac{8}{π^{2}} + \frac{1}{4 \cdot π^{2}} - \frac{7}{2}

Schaut etwas seltsam aus aber vielleicht stimmt es ja.

HAL9000

18:53 Uhr, 16.06.2020

Hast du mal ausgerechnet, was das (gerundet) für eine reelle Zahl ist? Ungefähr -4.3, d.h. eine NEGATIVE Varianz ... da friert es einem Stochastiker, selbst bei 25° Außentemperatur!

Mein CAS (dem ich zumindest bei solchen Integralen traue) sagt

V (\cos (π X)) = \frac{1}{2} + \frac{1}{4 π^{2}} - \frac{4}{π^{4}} \approx 0.4843

icefox01 aktiv_icon

19:51 Uhr, 16.06.2020

Hm, das hätte ich wohl mal ausrechnen sollen.

Also

E {cos}^{2} (π X) = E (\frac{1}{2} (cos (2 π X) + 1)) = \frac{1}{2} E (2 π X) + E \frac{1}{2}

E (2 π X) = \int_{0}^{1} cos (2 π x) (x^{2} + \frac{2}{3}) = \frac{1}{2 π^{2}}

(auf das komm ich auch mit CAS)

\Rightarrow E {cos}^{2} (π X) = \frac{1}{2} \frac{1}{2 π^{2}} + \frac{1}{2} = \frac{1}{4 π^{2}} + \frac{1}{2}

V (cos (π X)) = E {cos}^{2} (π X) - {(E cos (π X))}^{2}

= \frac{1}{4 π^{2}} + \frac{1}{2} - (- \frac{2}{π^{2}}) - 2)^{2} = \frac{1}{4 π^{2}} + \frac{1}{2} - \frac{4}{π^{4}} - \frac{8}{π^{2}} - 4

Wenn ich das mit deiner Lösung vergleiche ist der einzige Unterschied, dass dein

{(E cos (π X))}^{2} = - \frac{2}{π^{2}}

Ich hatte hier

{(E cos (π X))}^{2} = - \frac{2}{π^{2}} - 2

Warum kann man das

- 2

hier beim Erwartungswert vernachlässigen?

HAL9000

21:12 Uhr, 16.06.2020

Lies dir meinen Beitrag 09:11 Uhr, 16.06.2020 nochmal durch, und zwar langsam und GANZ GENAU:

Da steht nichts, aber auch gar nichts von

V (\cos (π X) - 2) \overset{? ? ?}{=} E (\cos^{2} (π X)) - {(E (\cos (π X) - 2))}^{2}

icefox01 aktiv_icon

07:23 Uhr, 17.06.2020

Ah ja natürlich. Das ist ja dort auch weg. Sorry mein Fehler.
Somit hat sich alles geklärt. Vielen Dank für die Hilfe.

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