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Erzeugende Funktion bilden

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Erzeugende Funktionen

Tags: Binomialkoeffizient, Erzeugende Funktionen, Folgen und Reihen

Nonfamous aktiv_icon

23:22 Uhr, 16.11.2016

Hallo,

ich komme bei folgender Aufgabenstellung überhaupt nicht weiter:

Sei

a_{t} := (\begin{matrix} n + t \\ n \end{matrix})

mit

n \in ℕ

. Zeige, dass die erzeugende Funktion gegeben ist durch:

\frac{1}{{(1 - x)}^{n + 1}}

Mein Ansatz:
Ich habe das ganze mal einfach in die Definition für eine erzeugende Funktino eingesetzt, also

E (x) = \sum_{t = 0}^{\infty} a_{t} \cdot x^{t} = \sum_{t = 0}^{\infty} (\begin{matrix} n + t \\ n \end{matrix}) \cdot x^{t} = \sum_{t = 0}^{\infty} \frac{(n + t)!}{n!} \cdot \frac{x^{t}}{t!}

ab hier komme ich gar nicht mehr weiter. Als Hinweis steht auch, dass ich die endliche geometrische Reihe benutzen soll, was mich eher verwirrt, als dass es mir hilft.

Theoretisch könnte ich auch

E (x)

ableiten und nullsetzen und dadurch zeigen, dass

E^{(t)} (0) = a_{t}

gilt, aber dass scheint nicht die geforderte Lösung zu sein.

Kann mir bitte jemand dabei helfen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

DrBoogie aktiv_icon

10:16 Uhr, 17.11.2016

Nutze

\frac{1}{1 - x} = \sum_{k = 0}^{\infty} x^{k}

und die Formel fürs Cauchy-Produkt der Reihen.

Nonfamous aktiv_icon

11:27 Uhr, 17.11.2016

Okay, dann erhalte ich folgende, könntest du drüberschauen, ob das so in Ordnung ist:

\frac{1}{{(1 - x)}^{n + 1}} = \prod_{i = 1}^{n + 1} \frac{1}{1 - x} = \prod_{i = 1}^{n + 1} \sum_{k = 0}^{\infty} x^{k} = (\prod_{i = 1}^{n - 1} \sum_{k = 0}^{\infty} x^{k}) \cdot (\sum_{l = 0}^{\infty} \sum_{m = 0}^{\infty} x^{m} \cdot x^{l - m})

= (\prod_{i = 1}^{n - 1} \sum_{k = 0}^{\infty} x^{k}) \cdot (\sum_{l = 0}^{\infty} (\begin{matrix} 1 + l \\ 1 \end{matrix}) x^{l})

= (\prod_{i = 1}^{n - 2} \sum_{k = 0}^{\infty} x^{k}) \cdot (\sum_{l = 0}^{\infty} (\begin{matrix} 2 + l \\ 2 \end{matrix}) x^{l})

= ... = \sum_{l = 0}^{\infty} (\begin{matrix} n + l \\ n \end{matrix}) x^{l}

= \sum_{l = 0}^{\infty} a_{l} \cdot x^{l}

Jeweils unter Verwendung des Cauchy-Produktes und der geom. Reihe.
Klappt das so? Weil eigentlich habe ich ja jetz die endliche geom. Reihe nicht benutzt, die mir im Hinweis gegeben wurde.

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