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Erzeugendensystem Familie

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Körper

Tags: Erzeugendensystem, Familie, Körper

vick19 aktiv_icon

17:59 Uhr, 12.11.2010

halli, hallo, ich hab mal wieder ne Frage:
Es sei

K

ein Körper,

V

ein

K

-Vektorraum und I eine Menge.
Für jedes Element

i \in I

sei

A_{i}

eine Teilmenge von V. Die Familie (Ai)(i

\in I)

von Teilmengen von

V

genüge den folgenden Bedingungen: Zu je 2 Element

i, j, \in I

existiert ein Element

k \in I

mit Ai

\cup

\subseteq

Ak. Zeigen sie, dass in diesem Fall

< ⋃ (i \in I)

> = ⋃ (i \in I) <

>

gilt, dass diese Aussage aber ohne die obige Voraussetzung an die Familie (Ai)

i \in I

im Allgemeinen Falsch ist.

meine Fragen:
was ist eine Familie genau,was kann ich mir darunter vorstellen? was ist er Unterschied ob ich

< ⋃

Ai> oder

⋃

<Ai> betrauchte? und warum geht das nur unter dieser Voraussetzung?
was genau sagt die Bedingung aus?
bitte eine ausführliche Antwort,
liebe Grüße, Viktoria

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung

el holgazán aktiv_icon

18:17 Uhr, 12.11.2010

Hallo vick

Eine Familie von X ist einfach eine Indexierte Ansammlung von Objekten des Typs X. Das Wort Familie ändert bei der Aufgabenstellung nichts - es sagt einfach aus, dass

(A_{i})_{i}

eine indexierte Menge von Mengen von Vektoren ist.

Der Unterschied zwischen

< \cup A_{i} >

und

\cup < A_{i} >

lässt sich an einem Beispiel zeigen:
Nimm die Vektoren

e_{1} = (1, 0)

und

e_{2} = (0, 1)

Der Spann von

(1, 0)

ist:

< (1, 0) > = {α \cdot (1, 0) \in ℝ^{2} : α \in ℝ} =

= {(α, 0) \in ℝ^{2} : α \in ℝ} =

= ℝ \times {0}

.
Also die Menge aller Punkte die auf der x-Achse liegen.
Dementsprechend ist

< (0, 1) >

die Menge aller Punkte die auf der y-Achse liegen.
Was ist nun also:

< (1, 0) > \cup < (0, 1) >

?
Die Menge aller Punkte die entweder auf der y-Achse oder auf der x-Achse liegen; also die Vektoren bei denen eine der Korrdinaten 0 ist.

Doch das unterscheidet sich natürlich von

< (1, 0), (0, 1) > = < e_{1}, e_{2} > = {α \cdot (1, 0) + β (0, 1) \in ℝ^{2} : α, β \in ℝ} = ℝ^{2}

Die Voraussetzung die gegeben ist heisst, dass jede endliche Vereinigung von

A_{i}

s bereits in einem

A_{k}

enthalten ist. Man kann das auch so sehen, dass die Familie "abgeschlossen" sei, auch wenn das hier naütlrich nicht in einem mathematisch sauber definierten Sinn zu verstehen ist.

Erfüllt die Familie

{e_{1}}, {e_{2}}

diese Voraussetzung?
Nein; denn:

{e_{1}} \cup {e_{2}} = {e_{1}, e_{2}}

und dies ist nicht in

{e_{1}}

oder

{e_{2}}

enthalten.

michaL aktiv_icon

00:46 Uhr, 14.11.2010

Hallo,

zum zweiten Teil hast du ja schon eine Antwort erhalten. Da gibt es viele Beispiele.

Zur eigentlichen Aufgabe:
Im Prinzip musst du ja nur eine Mengengleichheit zeigen:

< ⋃ A_{i} > = ⋃ < A_{i} >

Also teilst du das in die zwei Inklusionen

< ⋃ A_{i} > \subseteq ⋃ < A_{i} >

und

< ⋃ A_{i} > \supseteq ⋃ < A_{i} >

auf.
"

\supseteq

" folgt einfach aus der Monotonieeigenschaft von <>, d.h. dass für

A \subseteq B

gilt:

< A > \subseteq < B >

(versuch mal, evtl. nach Details fragen).

Für "

\subseteq

" braucht man nun hochgradig die besondere Eigenschaft, dass für je zwei Indizes

i, j

es einen Index

k

gibt, sodass

A_{i} \cup A_{j} \subseteq A_{k}

gilt.
Um das anwenden zu können, musst du induktiv zeigen, dass es für endlich viele Indizes

i_{1}, \dots i_{n}

einen Index

k

gibt, sodass

A_{i_{1}} \cup \dots \cup A_{i_{n}} \subseteq A_{k}

gilt. Das geht iterativ oder (aufgeblähter) induktiv.
Nimm dann ein Element

x

aus

< ⋃ A_{i} >

her. Es braucht dann nur endlich viele Indizes

i_{1}, \dots i_{n}

, sodass

x \in < A_{i_{1}} \cup \dots \cup A_{i_{n}} >

gilt. Alles weitere ist wohl einfach.

Sollte es noch Fragen geben, melde dich einfach noch einmal.

Mfg Michael

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