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Erzeugendensystem des Vektorraums Q²

Universität / Fachhochschule

Lineare Unabhängigkeit

Vektorräume

Tags: Lineare Unabhängigkeit, Vektorraum

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17:24 Uhr, 02.11.2009

Hallo,
ich sitze hier schon seit einer Stunde und komme bei einer wahrscheinlich simplen Aufgabe nicht weiter.
Wenn ich diese Aufgabe nicht löse, dann brauche ich die anderen nicht mal anzufangen.

Also es geht um folgende Aufgabenstellung:

Welche der folgenden drei n-Tupel

(n = 3

bzw 2 bzw

4)

von paaren rationaler Zahlen sind Erzeugendensysteme des Vektorraums Q² (über

Q)

. Anm. das

Q

ist dieses

Q

für den mathematischen Zahlenbereich.

a

((0,3), (- 1,1), (4, 2))

b

((1, - 2), (1,1))

c

((6,12), (0,0), (- 5,10), (3, 6))

Ich hoffe ihr könnt mir hier weiterhelfen.

Ich weiß nicht mal, was ich mit diesen Zahlen machen soll und was ein Vektorraum Q² ist.
Eine kurze Erklärung wäre auch sehr super, da ich es auch verstehen möchte.

-Danke im voraus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

smoka

20:30 Uhr, 03.11.2009

Erzeugendensystem bedeutet, dass sich jeder Vektor des Vektorraums als Linearbkombination der n-Vektoren schreiben, "erzeugen" lässt. D.h. Du musst prüfen, ob es möglich ist mit einer Linearkombination Deiner n Vektoren jeden beliebigen anderen Vektor des Vektorraums darzustellen.
Um mal etwas konkreter zu werden: Du musst prüfen, ob folgende(s) Gleichung(ssystem) eine Lösung hat ;-)

λ_{1} \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 3 \end{array}) + λ_{2} \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \end{array}) + λ_{3} \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array})

für beliebige

x_{1}, x_{2} \in ℚ

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20:50 Uhr, 03.11.2009

Hi,
vielen Dank für die Antwort. :-)

Nach mehreren Stunden des Einarbeitens habe ich es auch auf diese Form gebracht.

Aber jetzt weiß ich nicht, wie ich weiter machen soll.

Habe jetzt schon Ewigkeiten probiert.

Wie kann ich jetzt prüfen, ob dieses Gleichungssystem für jedes

a, b

(bei dir

x 1

bzw

x 2)

eine Lösung hat?

Habe für

y 2 = - a

gesetzt und

y 3 = 0

Somit bekomme ich "oben"

a = a

.

Unten habe ich dann folgendes stehen "b

= y 1 \cdot 3 -

a". Hier weiß ich nicht weiter.

Bin ich auf dem komplett falschen Weg oder stimmt der Ansatz schon mal?

Wäre euch bzw. dir sehr³³³ dankbar, wenn du es mir (die erste Aufgabe) vorrechnen könntest.
Dann habe ich wenigstens eine Beispiel mit denen ich dann die anderen in Angriff nehmen kann. :-)

Wäre dir echt zu

1000

dank verpflichtet. :-)

smoka

22:16 Uhr, 03.11.2009

Na ja, ich will ja mal nicht so sein ;-)
Ich weiß nicht genau wie weit ihr in der Vorlesung/Unterricht seid und weiß auch nicht, was derjenige der das von Dir verlangt sehen möchte, aber ich würde es so machen:

Wir wollen prüfen, ob es sich bei den folgenden drei Vektoren um ein Erzeugendensystem des

ℚ^{2}

handelt:

{(\begin{array}{c} 0 \\ 3 \end{array}), (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \end{array}), (\begin{array}{c} 4 \\ 2 \end{array})}

Seien nun

λ_{1}, λ_{2}, λ_{3} \in ℝ

(sofern das nicht weiter eingeschränkt ist) und

x_{1}, x_{2} \in ℚ

Wenn nun für beliebige

x_{1}, x_{2} \in ℚ

das Gleichungssystem eine Lösung hat, handelt es sich um ein Erzeugendesystem. D.h. jeder Vektor des

ℚ^{2}

lässt sich als Linearkombination dieser drei Vektoren darstellen.

λ_{1} \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 3 \end{array}) + λ_{2} \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \end{array}) + λ_{3} \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array})

Man kann das nun auf verschiedene Weise lösen. Ich werde es mit einer erweiterten Koeffizientenmatrix machen (Stichwort: Gauß-Algorithmus):

(\begin{array}{ccc} 0 & - 1 & 4 \\ 3 & 1 & 2 \end{array} ∣ \begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array}) \to (\begin{array}{ccc} 3 & 1 & 2 \\ 0 & - 1 & 4 \end{array} ∣ \begin{array}{c} x_{2} \\ x_{1} \end{array})

Man sieht direkt, dass das System mehr als eine Lösung hat. Wenn man möchte, kann man sie aber auch noch angeben:
setze

λ_{3} = a

\Rightarrow - λ_{2} + 4 a = x_{1}

\Rightarrow λ_{2} = 4 a - x_{1}

3 λ_{1} + 4 a - x_{1} + 2 a = x_{2}

\Rightarrow λ_{1} = \frac{x_{1} + x_{2} - 6 a}{3}

Damit ist gezeigt, dass sich jeder Vektor aus

ℚ^{2}

"erzeugen" lässt.

Ich hoffe mal, mir ist nirgends ein Rechenfehler unterlaufen :-)

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23:16 Uhr, 03.11.2009

Boah,
echt tausend Dank.

Jetzt stellen sich mir aber gleich ein paar "dumme" Fragen. :-)

Habe die Rechenschritte soweit nachvollziehen können.

Die erste Frage:
Woran erkennt man direkt, dass das System mehr als eine Lösung hat?
Ein Mathematiker wird sich jetzt vielleicht schlapp lachen, aber ich erkenne es nicht.

: (

zweite Frage:
Ist mit dem letzten Rechenschritt "⇒λ1" gezeigt, dass sich jeder Vektor aus ℚ2 erzeugen lässt, oder benötigt man dafür λ1, λ2 und λ3? Es ist im diesen Fall ja nicht schwierig λ1, λ2 und λ3 auszurechnen.

dritte Frage:

a)

gibt es eigentlich ein Grundlegendes Schema nach dem man bei solchen Aufgaben vorgeht?
Geht man

z . B

. bei Aufgabe zwei und drei gleich vor?

b)

woher weiß man, wo man Anfangen soll einzusetzen? Oder ist das nur Übungssache?

vierte Frage:
woher weiß bzw. erkennt man, dass es kein "Erzeugendensystem" ist?
Welches "Ergebnis" muss dort rauskommen bzw an welchem Punkt muss man gelangen?

An dieser Stelle noch mal

1000

Dank. Ich glaube du weißt nicht, wie sehr du mir bisher geholfen hast. Habe schon etliche Stunden damit verbracht und bin kurz vor dem verzweifeln.

smoka

23:45 Uhr, 03.11.2009

Ich glaube ich weiß schon, wie Du Dich fühlst.
Vielen guten "Mathematikern" geht es ähnlich wie Dir (zumindest anfangs) und auch ich kenne es sehr gut kurz vor der Verzweiflung zu stehen (wobei ich mich sicher nicht zu den guten Mathematikern zähle).
Ich werde mal versuchen, Deine Fragen zu beantworten.

1.) Sagt Dir der Begriff "Rang" einer Matrix was? Wenn eine Matrix vollen Rang hat, ist sie eindeutig lösbar, d.h. hat mindestens eine Lösung. Der Rang ist die Anzahl linear unabhängiger Zeilenvektoren. In diesem Falle hat sie sogar unendlich viele Lösungen, da ich den Parameter "a" beliebig wählen kann. Vielleicht ist es zum Verständnis ganz gut, wenn ich Dir mal eine Matrix gebe, die nicht lösbar wäre:

(\begin{array}{ccc} 0 & - 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} ∣ \begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array})

2.) Also eigentlich ist mit der Matrixumformung schon gezeigt, dass sich jeder Vektor erzeugen lässt (siehe Antwort 1 -> mindestens eine Lösung). Sicherheitshalber würde ich aber die

λ_{i}

s noch ausrechnen, dann kann Dir auch keiner mehr ans Bein pinkeln.

3.a) Nun ja, es hängt selbstverständlich stark von der Aufgabenstellung ab, was zu tun ist. Wenn es aber darum geht zu prüfen, ob es sich bei einer Menge von Vektoren um ein Erzeugendensystem handelt, läuft es aber prinziepiell schon immer auf das Gleiche hinaus.
Ich gebe Dir mal die mathematische Definition von "Erzeugendensystem":
"Definition: Erzeugendensystem
Eine Menge B⊆V von Vektoren heißt Erzeugendensystem von V, falls lin(B)=V gilt, d.h. falls sich jeder Vektor aus V als Linearkombination von Vektoren aus B schreiben lässt."
Das muss man irgendwie nachweisen.
Generell sollte man sich bei mathematischen Aufgaben (speziell an der Uni) immer mit den Begriffen und Definitionen um die es geht vertraut machen. Dann weiß man meistens auch schon was zu tun ist (sofern man die Definitionen versteht^^).

3.b) Was meinst Du mit "einsetzen"?

4.) Kein Erzeugendensystem liegt vor wenn das aufgestellte Gleichungssystem keine Lösung hat (siehe Bsp. Antwort 1). Ein kleiner Hinweis: Wenn Dein Vektorraum die dimension "n" hat, dann hat jedes Erzeugendensystem mindestens n Vektoren, jede Menge von weniger als n Vektoren kann dann unmöglich ein Erzeungendensystem sein.

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00:24 Uhr, 04.11.2009

Danke für deine Mühe.
Der Begriff "Rang" einer Matrix sagt mir leider nichts. Was bedeutet "vollen Rang"?
Leider sagt mir "linear unabhängiger Zeilenvektor" auch nichts. Ist der Zeilenvektor eine Zeile der "Linearkombination"?

Ist dein Beispiel jetzt nicht lösbar, da "unten" alles 0 sind?
Und

x_{2}

ist ein Element von

V

und

V = | =

(nicht gleich)

{0}

?

Kannst du es vielleicht an der Aufgabe

c

((6, 12), (0,0), (- 5,10), (3,6))

noch mal verdeutlichen?

Wie erkenne ich hier, ob es sich um ein Erzeugendensystem handelt?
Ausrechnen dauert hier doch bestimmt Ewigkeiten und ich muss ja "nur" sagen ob es ein Erzeugendensystem ist und es auch erklären können warum.

So, nach

10 h

Mathe machen gehe ich mal ins Bett... muss um 5Uhr aufstehen und zur Uni fahren, aber ab Mittag widme ich mich wieder dieser Aufgabe und würde mich über eine Antwort freuen.

smoka

00:39 Uhr, 04.11.2009

Ich hab mir viel Mühe gegeben, Deine Fragen zu beantworten und Dir zu helfen und ich hatte eigentlich auch den Eindruck, dass Du es verstanden hast.
Wir befinden uns hier im Internet und es war niemals in der Geschichte leichter als heute an Wissen zu gelangen. Warum nutzt nicht auch Du diese tolle Möglichkeit und informierst Dich mal selbst was "Rang" und "Zeilenvektor" bedeuten.
Versuch Du Dich doch mal an der Aufgabe c) Ich brauch das nicht mehr zu lernen ;-)

Wie man ein Erzeugendensystem zeigt habe ich doch nun lange genug erklärt. Ein anderer Weg ist mir nicht bekannt.

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15:33 Uhr, 04.11.2009

Hallo,
ich danke dir abermals für die Hilfe.
Ich weiß es echt zu schätzen, dass du dir solche Mühe gegeben hast um es mir zu erklären.
Stimmt, wir befinden uns im Zeitalter, in der man an jede Information gelange, aber durch diese "Informationsflut" bin ich leicht überfordert. Ich glaube ich sehe den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr.

Aber ich habe mich wieder ein wenig eingearbeitet.

Also ist dein Beispiel nicht lösbar,

d . h

. ist kein Erzeugendensystem von Q², da es den Rang 1 hat und dadurch nicht vollen rang?

Bei mir hätte Beispiel a vollen rang, da alle drei Zeilen unabhängige Zeilenvektoren sind und somit ist der "Rang voll" und dadurch kann mindestens eine Lösung bestimmt werden - dadurch ist es auch ein Erzeugendensystem

Beispiel

b)

ist auch ein Erzeugendensystem, da die beiden Zeilenvektoren unabhängig sind. Dadurch wieder voller Rang und dadurch mindestens eine Lösung.

Beispiel

c)

Beide Zeilen sind voneinander Abhängig, da

c 2 = c 1 \cdot 2 (c 2

ist das doppelte von

c 1)

.
Das heißt, der Rang ist nicht voll (ist er in diesem Fall Null oder 1?) und dadurch gibt es auch keine Lösung.
Sprich, diese Aufgabe hat kein Erzeugendensystem.

Stimmt es so?
Habe nämlich nicht gelernt was ein "Rang" ist, aber ich hoffe ich habe es verstanden.

Würde mich über jede Berichtigung freuen!

smoka

19:20 Uhr, 04.11.2009

Richtig, die Spaltenvektoren meines Beispiels wären kein ES des

ℚ^{2}

Beispiel a habe ich ja schon vorgerechnet. Wie gesagt, ich würde dennoch die Lambdas explizit berechnen (sicherheitshalber). Achtung! Es geht um die Spaltenvektoren, nicht um die Zeilenvektoren.

Beispiel b) und c) habe ich noch nicht berechnet. Wenn Du Deine Rechnung postest, kann ich Dir sagen, obs stimmt.

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20:15 Uhr, 04.11.2009

Ah,
also sind die Spaltenvektoren ausschlaggebend.

Kann man vereinfacht sagen, dass wenn zwei Spaltenvektoren abhängig sind, dass es dann kein Erzeugendensystem ist?

Wird der Rang der Matrix nun vom von der Anzahl unabhängiger Spaltenvektoren oder von der Anzahl unabhängiger Zeilenvektoren bestimmt?

smoka

20:41 Uhr, 04.11.2009

Ja, wenn zwei Spaltenvektoren linear abhängig sind, können sie keine Basis des

ℚ^{2}

darstellen. Wenn man allerdings zehn Vektoren hat und davon nur 8 linear abhängig und die anderen beiden linear unabhängig sind, so ist es trotzdem ein ES.

Bei Matrizen kann man zwischen Zeilen- und Spaltenrang unterscheiden. Vielleicht solltest Du Dich aber vorerst auf Erzeugendensysteme konzentrieren. Immer eins nach dem anderen ;-)

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23:45 Uhr, 05.11.2009

Hallo,
habe heute die Aufgaben abgeben müssen und habe es dann gleich am Anfang erfahren...
"wir können die Aufgabe nicht richtig lösen, da wir die Sachen die dafür nötig sind erst in einem Monat lernen"...

10 h

umsonst an dieser Aufgabe rumprobiert...

Habe danach aber gefragt, ob es so gehen würde, wie du es mir erklärt hast und ja, es stimmt. :-)

Danke dir nochmals vielmals für deine Mühe und für das sehr gute Erklären!
War sicher kein leichter "Kunde", aber falls es dich tröstet, ich bleibe euch noch erhalten. :-) Mir werden bestimmt bald wieder "dumme" Fragen einfallen und euch damit belästigen.

Bekommst von mir die beste Benotung die es hier gibt - verdient!

DANKE!

smoka

11:56 Uhr, 06.11.2009

Da stellt sich die Frage, warum man euch Aufgaben gibt, die ihr gar nicht lösen könnt? Vielleicht kannst Du ja Bonuspunkte abstauben, weil Du es trotzdem gelöst hast ;-)

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