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Erzeugendensystem und Basis im R3 finden mit einer
Universität / Fachhochschule
Tags: basis, Erzeugendensystem, Vektorraum
 
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Gegeben sind Vektoren: b=(λ, ∈ λ ∈ Für welche λ ∈ bilden die Vektoren und ein Erzeugendensystem des ? Handelt es sich in diesen Fällen um eine Basis des ? Ansatz: Soweit ich das verstanden habe ist ein Erzeugendensystem von einem Raum (hier die Vektoren welche jeden Punkt in diesem Raum mithilfe einer Linearkombination darstellen können, . wenn alle drei Vektoren linear unabhängig sind, dann bilden diese das Erzeugendensystem. Deswegen habe ich erstmal überprüft ob a und linear unabhängig sind, was sie sind da die Gleichungssysteme keine einheitliche Lösung haben. Stimmt das jetzt so oder brauch man die lineare Unabhängigkeit überhaupt für ein Erzeugendensystem und inwiefern hängt das genau mit der Basis zusammen? Bzw. hab ich das richtig auf dem Bild gemacht?  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff) Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Hallo, zunächst einmal: Wenn nach Unabängigkeit von 3 Vektoren gefragt ist, hilft es im allgemeinen nicht, die Unabhängigkeit von 2 dieser Vektoren zu prüfen. Man muss die lineare Unabhängigkeit von allen 3 prüfen. Eine Basis ist ein Erzeugendensystem, das linear unabhängig ist. Im hat jede Basis genau 3 Elemente und jedes Erzeugendensystem mit 3 Elementen ist auch linear unabhängig. Insofern hast Du mit Deiner Determinantenberechnung alle Fragen beantwortet. Allerdings würde ich vom Wortlaut der Aufgabenstellung her erwarten, dass Du direkt rechnerisch überprüfen solltest, ob für beliebige das Gleichungssystem lösbar ist. Gruß pwm |
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Also ist der erste Teil mit der linearen Unabhängigkeit von a und vollkommen unnötig? Wenn eine Basis ein Erzeugendensystem ist, das linear unabhängig ist, wie komm ich dann auf ein Erzeugendensystem das keine Basis ist? Ich dachte der komplette Sinn von einem Erzeugendensystem ist, dass die Vektoren linear unabhängig voneinander sein müssen? |
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Ich hab das jetzt auch mal nach dem Schema: s⋅b+t⋅b+u⋅c=x(s,t,u∈ℝ) ausgerechnet aber da kommt dann für lampda raus.. |
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Hallo, bei mir kommt als Ausnahme heraus. Ja, die Untersuchung von a und war überflüssig. Ja, man unterscheidet die Begriffe Erzeugendensystem, linearunabhängiges System und Basis, wobei letzteres eben beide Eigenschaften vereinigt. Eine Basis kann dabei auch als minimales Erzeugendensystem charakterisiert werden. Wenn also ein Erzeugendensystem nicht linear unabhängig ist, sind einige der Vektoren "überflüssig". Gruß pwm |
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Ok vielen Dank :-) |
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