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Erzeugendensystem, wie genau beweisen?
Universität / Fachhochschule
Lineare Unabhängigkeit
Vektorräume
Tags: Lineare Unabhängigkeit, Vektorraum
 
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Hallo, Ich habe die folgende Aufgabe berechnet, in dem ich: (also den -Vektor) Gesetzt habe und komme auf: Zusätzlich habe ich auf lineare Unabhängigkeit geprüft und sie sind linear unabhängig, Was ja auch die eindeutige Lösung von und zeigt. Ist das alles richtig? Kann man immer so vorgehen? Und wäre das jetzt nicht sogar auch eine Basis? Liebe Grüße SakuraSha  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Das ist vollkommen richtig auch wenn die Prüfung auf lineare Unabhängigkeit nicht notwendiger weise geprüft werden müsste um zu Zeigen das ein erzeugendes System vorliegt. Durch das zeigen der Linearunabhänigkeit hast du gezeigt das dein System eine Basis ist. Denn jedes Erzeugendesystem eines Vektoraums das linearunabhängig ist ist eine Basis dieses Vektoraums. In diesem speziellen Fall wenn du weist das du 3 Vektoren hast für den reicht es sogar nur eines von beiden zu überprüfen(erzeugendes System, oder linear unabhängig) um sicher zu sein das eine Basis vorliegt da sich das andere Ergibt. Wichtig im allgemeinen Fall wenn danach gefragt ist ob Vektoren ein erzeugendes System bilden und die Anzahl der Vektoren größer als die Dimension des Vektoraums ist, dann führt das prüfen der linearen unabhängigkeit nicht zum Ergebniss aus sondern sagt nur ob es sich um eine Basis handeln kann. |
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Vielen lieben Dank für deine Antwort!!! Ich habe aber noch eine Frage. Wenn ich, so wie oben zeige, dass die 3 Vektoren jeden beliebigen Vektor erzeugen, Also den x-Vektor und ich erhalte ein Ergebnis wie oben, ist es ja ein Erzeugendensystem... Was für ein Ergebnis müsste denn bei dieser Rechnung rauskommen, damit es kein Erzeugendensystem wäre? Liebe Grüße |
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entscheident damit du den ganzen Raum erzeugen kannst ist das du beliebige gewinnen kannst dabei ist es aber wichtig das du es nacheinander ausrechnest Du beginnst mit oder und legst deine erste Variable fest damit du immer auf diese kommst Bsp.=> das musst du dann auch für die anderen Gleichungen verwenden Das heißt du musst deine Variablen so festlegen das alle Gleichungen gleichzeitig gelten dann erzeugst du den ganzen Raum Beispiele in denen es nicht klappt: klar da sonst sein müsst was nicht beliebig ist nicht beliebig |
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Hallo, Danke für die Erklärung, aber irgendwie verstehe ich nicht, warum diese beiden Ergebnisse nicht eindeutig wären? Weil sie voneinander abhängen? Liebe Grüße |
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Ja du musst um ein erzwugendes System von zu haben linearunabhängige Vektoren in deiner Menge von Vektoren finden Es gibt eine Teilmenge von deiner Menge von Vektoren die eine Basis von ist. |
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Kannst du das an einem deiner Beispiele nochmal verdeutlichen? Ich stehe irgendwie auf dem Schlauch, warum es bei den beiden keine eindeutige Lösung ist. |
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OK da war ein dummer Fehler von mir das vom Zielvektor sollte nicht dasselbe sein wie die Konstant auf der rechten Seite!(sei deshalb =x-2y-2d=-2b+5a⇒ nicht beliebig mit Zahlen als Beispiel sei dann muss sein Wiederspruch nach und lässt sich also nicht linearkombinieren |
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vielen, vielen Dank!!! |
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