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Erzeugender TErm

Schüler

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15:50 Uhr, 18.10.2016

Es gelingt mir nicht den erzeugenden Term aufzustellen! Bitte um Hilfe!
Aufgabe:

(1, \frac{1}{5}, \frac{1}{9}, \frac{1}{13}, ... .)

in No
Ich habe einmal

d

ausgerechnet!

d 1 = - \frac{4}{5}

d 2 = - \frac{4}{45}; d 3 = - \frac{4}{117}

Komme da nicht weiter. Was mache ich falsch?
Danke für eure Hilfestellung!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

anonymous

15:57 Uhr, 18.10.2016

Versuch es mal mit

a_{n} = \frac{1}{4 \cdot n - 3}

Bummerang

15:58 Uhr, 18.10.2016

Hallo,

"Komme da nicht weiter. Was mache ich falsch?"

Schwer zu sagen, da Du nicht klar schreibst, was Du vor hast bzw. was Dir vorgegeben ist, was Du tun musst! Allein meine Glaskugel verrät mir, dass Du versuchst für die Zahlenfolge

(1, \frac{1}{5}, \frac{1}{9}, \frac{1}{13}, ...)

eine explizite Darstellung zu finden und Du gehofft hast, dass es sich um eine arithmetische Folge handelt und Du jetzt die Differenzen berechnet hast. Aber es handelt sich nicht um eine arithmetische Folge! Ich schreibe die Folge mal etwas anders:

\frac{1}{1}, \frac{1}{5}, \frac{1}{9}, \frac{1}{13}, . .

.

Und jetzt mal nur die Folge der Nenner:

1, 5, 9, 13, . .

.

Offensichtlich bilden die Nenner eine arithmetische Folge, während der Zähler immer konstant bleibt. Jetzt kannst Du die explizite Darstellung für die arithmetische Folge hernehmen, musst diese aber in den Bruch

\frac{1}{\dots}

im Nenner einsetzen...

EDIT: @Goedel
Erstens darfst auch Du mal schauen, ob vielleicht gerade geantwortet wurde und dann darfst Du mal einen Moment warten und zweitens nimmst Du der Fragestellerin das Ergebnis ab, auf das sie selber hätte kommen können!

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15:59 Uhr, 18.10.2016

Woher nimmst du diese Formel?
Danke euch beiden fürs Bemühen mir zu helfen.

15913

usw.
Zähler bleibt konstant 1.
Die Differenz zwischen den Gliedern

1, 5, 9, 13, . .

. usw. ist 4.

anonymous

16:00 Uhr, 18.10.2016

Allerdings habe ich mit

n = 1

begonnen.
Warum ? Siehe "Bumerang".

Bummerang

16:04 Uhr, 18.10.2016

Hallo,

"Woher nimmst du diese Formel?"

Das kommt davon, wenn man einfach Ergebnisse hinhaut! Die fragestellerin weiss jetzt und auch später nicht, wie sie darauf kommen soll, weil man ihr so den Weg zum Ziel

m . E

. sogar noch versperrt.

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16:05 Uhr, 18.10.2016

Ich bedanke mich bei euch beiden. Ich bin mir aber nicht klar, über die Differenz der einzelnen Glieder.

anonymous

16:06 Uhr, 18.10.2016

Es geht ja um den Nenner:

1,5,9,13, . .

.
Offensichtlich ist die Differenz doch immer 4.

ledum aktiv_icon

16:09 Uhr, 18.10.2016

Hallo
du weisst, wie sich die Nenner ändern? dann schreib mal die Folge für die Nenner a_n=....hin.
die richtige Folge sieht dann wie aus?
Gruß ledum

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16:19 Uhr, 18.10.2016

Bin erst soweit:

\frac{1}{1}; \frac{1}{5}; \frac{1}{9}; \frac{1}{13}, ... .

anonymous

16:24 Uhr, 18.10.2016

1.Nenner

: 1 = 1 + 0 \cdot 4

2.Nenner

: 5 = 1 + 1 \cdot 4

3:Nenner

: 9 = 1 + 2 \cdot 4

4.Nenner

: 13 = 1 + 3 \cdot 4

usw.
Folge der Nenner daher allgemein

1 + n \cdot 4

( für

n = 0,1,2, . .

. )

Und jetzt schreibe das mit

\frac{1}{(...)}

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16:27 Uhr, 18.10.2016

Ich bedanke mich ganz herzlich bei dir. Leider muss ich jetzt für ca. 2 Stunden weg, meinen Nachbarn ins Krankenhaus fahren. Dauert ja immer lange!
Ich bin aber um ca.

19.30

Uhr wieder zurück und ich hoffe ich darf mich dann wieder mit meinem Problem melden!
Danke, danke inzwischen!

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19:50 Uhr, 18.10.2016

Hallo, lieber Moderator!
Folge der Nenner wäre dann:

\frac{1}{1 + n \cdot 4}

Ich bin mir noch nicht im Klaren, ist das eine arithm. Folge oder eine geometrische Folge?
Wie komme ich auf die Formel an

= \frac{1}{4 n - 3}

Bummerang

20:05 Uhr, 18.10.2016

Hallo,

"Ich bin mir noch nicht im Klaren, ist das eine arithm. Folge oder eine geometrische Folge?"

Das verstehe ich nicht! Kann es sein, dass Du die Antworten derer, die Dir helfen wollen, gar nicht liest? Seit

15 : 58

Uhr hättest Du Zeit gehabt, den folgenden Satz zu lesen: "Aber es handelt sich nicht um eine arithmetische Folge!" Schade! Da darfst Du in Zukunft auch nicht verwundert sein, wenn Du länger auf Antworten warten musst, weil der eine oder andere deshalb nicht antwortet, weil Du es ja sowieso nicht liest. Da wäre Antworten so was wie das klassische Perlen vor die Säue werfen...

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20:14 Uhr, 18.10.2016

Hallo, bummerang!
Bitte nicht gleich so ein vernichtendes Urteil sprechen. Du bist ja sonst immer so hilfsbereit. Super!!! Ich habe es gelesen, ja.
Also ich komme eben auch bei der geometrischen Folge nicht zurecht. Die Folge der Nenner allgemein habe ich verstanden:

1 + n \cdot 4

Bitte um weitere Hilfe. Danke!
Ich hätte allzu gerne gewusst, wie man auf die Formel an=

\frac{1}{4 n - 3}

kommt.
Vielleicht kann mir jemand anderer helfen. Vielen Dank im Voraus! Sind wir ehrlich, so einfach ist diese Aufgabe ja nicht!

hier auch Formeln schreiben. Beispiel:

x^{2} + 2 x + \frac{1}{x} = 0

(DIESEN TEXT BITTE LÖSCHEN)

Roman-22

21:12 Uhr, 18.10.2016

>

Die Folge der Nenner allgemein habe ich verstanden: 1+n⋅4
Wirklich?
Der erste Nenner ist vielleicht für dich nicht so deutlich sichtbar.
Deine Folge lautet

< 1; \frac{1}{5}; \frac{1}{9}; ... >

Wie groß ist der Nenner der ersten Zahl?
Der Nenner des zweiten Glieds ist

5 -

ich danke da sind wir uns einig.
Und wie lautet daher das Bildungsgesetz/der erzeugende Term für die Folge der Nenner?
Für

n = 2

muss sich 5 ergeben, Für

n = 3

sollte sich 9 ergeben. Was sollte sich für

n = 1

ergeben?

R

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21:17 Uhr, 18.10.2016

Hallo, roman-22! Sehr lieb von dir, dass du dich nochmals meldest.
Der Nenner der ersten Zahl

= 1 + 0 \cdot 4 = 1

Es gilt also das Bildungsgesetz

1 + n \cdot 4,

damit der Nenner der zweiten Zahl 5 usw.
Wird hier der Zähler nicht berücksichtigt? Da komme ich eben nicht mit!

Roman-22

21:42 Uhr, 18.10.2016

>

Wird hier der Zähler nicht berücksichtigt?
Wir sehen uns zunächst einmal nur die Nenner an.
Du schreibst nun

a_{n} = 1 + 4 \cdot n

und setzt für das erste Folgenglied aber nicht

n = 1,

wie bei deinen Beispielen bisher, sondern

n = 0

ein.
Nicht, dass das falsch wäre - man muss es nur angeben.

Wenn du also deinen erzeugenden Term für die eingangs gegebene Folge mit

a_{n} = \frac{1}{1 + 4 \cdot n}

mit

n \in ℕ,

also

n = 0,1,2,3, . .

.

angibst, so ist das eine durchaus richtige Lösung.

Wenn du aber, so wie bei den anderen Aufgaben bisher, von

n \in N^{⋆},

also

n = 1,2,3,4, . .

. ausgehen möchtest, dann musst du dich an die kommentarlos hingeklatschte Lösung von Goedel2000 halten.

Versuche doch selbst, für eine arithmetische Folge mit

a_{1} = 1

und

d = 4

das allgemeine Glied

a_{n}

anzugeben. Die Formel hast du doch wohl parat oder kannst sie leicht herleiten oder wenigstens nachschlagen.

R

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21:51 Uhr, 18.10.2016

Ich bin jetzt gerade schwerstens gerügt worden uzw. von bummerang, ob ich nicht lesen könne. Man hätte mir ja geschrieben, dass es sich nicht um eine arithmetische Folge handelt. Bitte, habe ich das jetzt missverstanden, es handelt sich also doch im Nenner um eine arithm. Folge?
Der Moderator Goedel2000 wollte mir ja helfen, aber anscheinend habe ich seine Hilfe nicht kapiert.
Das Bildungsgesetz muss an

= \frac{1}{4 n - 3}

heißen, denn mit dieser Formel kann ich alle Glieder richtig ausrechnen. Nur wie komme ich da hin?

an

= a 1 + (n - 1) \cdot d

= a 1 + (n - 1) \cdot 4

a 1 = a 1 + (1 - 1) \cdot 4 = 1

a 2 = a 1 + (2 - 1) \cdot 4 = 5

a 3 = 1 + (3 - 1) \cdot 4 = 9

Ich glaube, ich komme heute nicht mehr klar. Leider!
lg

B

Roman-22

22:56 Uhr, 18.10.2016

Man hatte dir gesagt, dass deine gegebene Zahlenfolge weder eine arithmetische, noch eine geometrische Folge ist.

Wohl aber fällt auf, dass die Nenner für sich genommen eine arithmetische Folge bilden - beginnend mit 1 und einer Differenz benachbarter Glieder von

d = 4

. Soweit warst du doch auch schon, oder nicht?

Ich lese gerade nochmals deine Angabe und sehe, dass du geschrieben hast

> (1,15,19,113, ... .)

in No
bedeutet das vielleicht

n \in ℕ_{0}

? Also die alte Bezeichnung der natürlichen Zahlen beginnend bei 0? Das is genau jene Menge, die seit einer seit ca.

40

Jahre geltenden Norm schlicht

ℕ

heißt. nach dieser Norm ist 0 bereits von Haus aus eine natürliche Zahl und die Menge

{1; 2; 3; ...}

wird nun mit

ℕ^{⋆}

bezeichnet. Allerdings wird das auch heute noch oft anders definiert und in Deutschland ist es vom Bundesland abhängig, ob das

ℕ

im Schulbuch die 0 inkludiert oder nicht.

Ich nehme also an, dass die Indexmenge bei diesem Beispiel bei 0 beginnen soll.

Also

a_{0} = 1, a_{1} = \frac{1}{5}, a_{2} = \frac{1}{9},

usf.

Wenn dem so ist, dann habe ich eine gute Nachricht für dich.
Das Bildungsgesetz

1 + 4 \cdot n

für die Nenner

(1; 5; 9; 13; ...),

welches du angegeben hast, ist dann nämlich völlig richtig.
Und logischerweise ist dann das gesuchte Bildungsgesetz für deine gegebene Folge der Kehrwert davon, also

a_{n} = \frac{1}{1 + 4 \cdot n}

mit

n \in ℕ_{0}

(da bei euch offenbar die Null nicht in

ℕ

enthalten ist). Hier hat also das erste Folgenglied den Index

0 \to a_{0} = 1

.

Das Bildungsgesetz

a_{n} = \frac{1}{- 3 + 4 n},

welches dir Goedel2000 genannt hatte, gilt nur, wenn das erste Folgenglied den Index 1 hat

\to a_{1} = 1

R

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09:16 Uhr, 19.10.2016

Lieber Roman-22!
Ich bedanke mich bei dir für deine nette Art anderen zu helfen. Diese Aufgabe hat mich gefordert, dabei ist sie - wenn man sie nochmals laut deinen Anleitungen - überdenkt ja gar nicht so... schwer.
Vielen lieben Dank für deine Geduld und auf ein baldiges Wiedersehen im Forum.

D A N K E!

B

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09:20 Uhr, 19.10.2016

Nochmals danke allen Moderatoren, die mir geholfen haben.

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