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Erzeuger der endlichen zyklischen Gruppe
Universität / Fachhochschule
Tags: Erzeuger, zyklische Gruppe
 
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Aufgabe: Bestimme alle Erzeuger von . alle Elemente mit . Mein Problem ist, dass wir Gruppenhomomorphismen, Euler usw. noch nicht thematisiert haben. Dies darf in meine Bearbeitung nicht rein. In den Aufgaben zuvor habe ich bereits bewiesen: - Alle Untergruppen von sind zyklisch. - Alle Faktorgruppen von sind zyklisch. - Für jeden Teiler von ord(C) gibt es genau eine Untergruppe vom Index . Kann ich das in irgendeiner Form verweden? Vermute, dass die Erzeuger aus stammen müssen oder? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Sei dann ist mit auch ein Erzeuger genau dann wenn ggT(n,m)=1 ist. Das sollte dir ermöglichen, alle Erzeuger zu finden, wenn du zumindest erstmal einen gefunden hast. |
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Meine Idee: Sei zyklisch und ord(C)=n. Dann hat die Form . Nach Aufgabenteil gibt es für jedes dass teilt, eine zyklische Untergruppe mit der Ordnung die von erzeugt wird. |
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ggT haben wir tatsächlich auch noch nicht, nur modulo. |
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ggT(n,m)=1 heißt, dass n und m TEILERFREMD sind. Wenn du auch das nicht kennst, dann sieht es düster aus. |
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Die Erzeuger müssten dann doch alle teilerfremden Zahlen sein oder? Also die Primzahlen? |
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Teilerfremd zu ist doch nicht dasselbe wie Primzahl sein - Beispiel : 5 ist Primzahl, aber nicht teilerfremd zu 10. 9 ist keine Primzahl, aber dennoch teilerfremd zu 10. Ich denke, du solltest mal deine Gedanken und Begriffe ordnen. |
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ok... |
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