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Erzeuger einer Gruppe
Universität / Fachhochschule
Gruppen
Tags: Gruppen
 
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Ich bin total verwirrt... Wenn isch die Gruppe * betrachte, dann hat diese gemäss dem Wikipedia Artikel de.wikipedia.org/wiki/Prime_Restklassengruppe genau jene Erzeuger k, s.d. ggT(k,n)=1, dann wären es die Erzeuger: 1,2,3,4,..., 22. Aber das kann doch gar nicht sein, denn die Ordnung des Elementes 1 ist doch z.B. 1 und nicht die Gruppenordnung?! Aber bzgl. Addition ist die Gruppe ja auch nicht, sonst müsste ja die 0 drin sein?! Wäre froh, wenn mir jemand helfen könnte. Bin völlig verwirrt... LG Didgi |
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Hi Um deiner Verwirrung zu helfen nicht mehr wirr zu sein betrachten wir mal folgendes Bps. gucken wir mal auf die Einheitengruppe der Gruppe Die Elemente derGrupee sind 1 2 3 und 4. Warum ist hier z.B die 5 nicht mehr dabei? Somit ist die Gruppenordnung 4 Nun zu den Erzeugern dieser Gruppe: Wir müssen also ein Element finden das hoch 4 genommen 1 ergibt. (das ist Definition von Erzeuger) Probieren wir mal die 2 --> --> 4 ist aber nicht gleich 1 in der Gruppe, das ist klar oder? wenn du auch noch berechnest, siehst du, dass 3 auch nicht gleich 1 ist. dann bleibt nur noch hoch 4 und bedenke, jedes Element einer Grupee hoch seiner Gruppenordnung ist 1 "bzw. das neutrale Element, was hier 1 ist" (Das ist der kleine Fermatsche Satz). Also hast du einen Erzeuger gefunden nämlich 2. Betrachte nun mal die 4 --> nun in unserer Beispielgruppe ist das aber gerade 1! (Wenn dir das nicht klar ist sag bescheid, bzw. denk nach ^^) also ist das kein Erzeuger. Bedenke allgemein noch: 1 ist niemals ein Erzeuger! Zu deiner letzten frage: Warum sollte die Null in einer Einheitengruppe sein? Man kann sich sehr schnell überlegen, dass das nicht geht, da Null kein Inverses hat! Noch ein kleiner Hinweis zum Schluss: in der Einheitengruppe gibt es nur die Multipikation. Verwechsel das nicht der normalen gruppe Aus obiger Rechnung folgt auch ein Isomorphismus von (Einheiten von(F5)) und Ich weiß leider nicht wie man die Einheitgengruppe (F5) mit Latex schreibt. Wenns dich verwirrt, vergiss das einfach. Ich hoff ich hab mich oben nirgends vertan.. Lieben Gruß Zippo |
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ja, das ist mir alles klar, d.h. so habe ich mir das ganze auch vorgestellt, bis ich den wikipediaartikel gelesen, bzw. Im Buch einen Satz gelesen habe, dass in Z_n* alle Einheiten durch ggT(k,n)=1 bestimmt sind und damit meine ich wirklich Z_n* und nicht Z/nZ. Aber in dem Fall ist es wohl ein schlechtes Buch ;-)... Wie kann man denn konkret einen Isomorphismus konstruieren? Z/22Z hat ja bzgl. Addition die Einheiten 1,3,5,7,9,13,15,17,19 und 21 heisst das Z/23Z* hat genau so viele Erzeuger aber nicht die selben? Vielen Dank schon im Voraus.:-) Lg Didgi |
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Nichts dergleichen steht mi bedsagten Wikipedia-Artikel |
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stimmt. Ich bin verwirrt und doof, hab' da zwei Dinge total verwechselt: war wohl gestern Abend und heute Morgen etwas müde und verwirrt. Es hat sich nun alles geklärt. Sorry!!! |
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