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Erzeuger einer Sigma-Algebra

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sabsi

10:58 Uhr, 18.10.2023

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Hi,

Gegeben sei die Menge

S = {1, 2, 3 . . . 8}

Ich soll zeigen dass es einen Erzeuger von der sigma-Algebra P(S) gibt der nur 3 Elemente beinhaltet.

Bräuchte hier eine Idee... weil die Potenzmenge hat

2^{k}

Elemente (wenn ich mich richtig erinnere). Das wären hier 2^8 ELemente, also kann meine erste Idee "Erzeuger mit 3 Elementen wählen und dann alle Elemente von P(S) berechnen" nicht die schnellste Variante sein

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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Antwort

Daniel02

Daniel02 aktiv_icon

10:35 Uhr, 19.10.2023

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Du könntest versuchen mittels 3 Erzeuger auf die Elemente

{1}, {2}, {3}, . . ., {8}

zu kommen.

Sobald du das schaffst kann man mit diesen Elementen die ganze Potenzmenge aufspannen.

sabsi

11:15 Uhr, 19.10.2023

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Und wie soll man auf diese 3 Erzeuger kommen? Einfach ausprobieren? Das kann ja lange dauern oder :(

Antwort

HAL9000

13:45 Uhr, 19.10.2023

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Konstruktionsprinzip: In die Erzeugermenge

A_{j}

nimmt man die Zahlen

k

auf, wo die

j

-te Binärstelle der dreistelligen Binärdarstellung von

k - 1

gleich Null ist.

A_{1} = {1, 2, 3, 4}

A_{2} = {1, 2, 5, 6}

A_{3} = {1, 3, 5, 7}

Dann ist

P (S) = σ (A_{1}, A_{2}, A_{3})

, denn es ist

{1} = A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3}

binär kodiert 000 ,

{2} = A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3}^{c}

binär kodiert 001 ,

{3} = A_{1} \cap A_{2}^{c} \cap A_{3}

binär kodiert 010 ,

{4} = A_{1} \cap A_{2}^{c} \cap A_{3}^{c}

binär kodiert 011 ,

{5} = A_{1}^{c} \cap A_{2} \cap A_{3}

binär kodiert 100 ,

{6} = A_{1}^{c} \cap A_{2} \cap A_{3}^{c}

binär kodiert 101 ,

{7} = A_{1}^{c} \cap A_{2}^{c} \cap A_{3}

binär kodiert 110 ,

{8} = A_{1}^{c} \cap A_{2}^{c} \cap A_{3}^{c}

binär kodiert 111 .

Verallgemeinernd kann man sagen: Bei einer endlichen nichtleeren Menge

Ω

benötigt man für deren Potenzmengen-Sigmaalgebra einen Erzeuger mit lediglich

⌈ \log_{2} ∣ Ω ∣ ⌉

Mengen.

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