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Erzeuger einer Sigmaalgebra

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Tags: Funktionalanalysis

 
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Droggelbecher1

Droggelbecher1 aktiv_icon

14:28 Uhr, 09.10.2019

Antworten
Ich soll die Sigmaalgebra, die von
Omega=R, E={[-a,a]:a€N0}
erzeugt wird angeben. Ist das die Borelsche Sigmaalg?

Desweiteren habe ich gelöst:
Sigmaalg(E)={Q, leere Menge, {qi}, Q/{qi}}
Für Omega=Q={q1,q2, q3...}, E={{qi}:i€N}
Ist das richtig?


Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Antwort
HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

17:04 Uhr, 09.10.2019

Antworten
a) Nein, die erzeugte Sigma-Algebra ist viiiel kleiner. Geh doch mal von dem Erzeugendensystem aus und überleg dir, was so die atomaren (= unteilbaren) Grundmengen in dieser Sigmaalgebra sind:

Das sind zweifelsohne A0:={0} sowie An:=[-n,n]\[-(n-1),n-1]=[-n,-(n-1))(n-1,n].

Diese Mengen A0,A1, bilden in ihrer Gesamtheit eine abzählbare disjunkte Zerlegung von . Damit ist klar, dass das Mengensystem aller möglichen (logischerweise abzählbaren) Vereinigungen dieser An dann die erzeugte Sigma-Algebra bilden.


Bei b) muss ich erstmal die Symbolik begreifen: Ok, Q ist irgendeine abzählbare Menge (z.B. die rationalen Zahlen, muss aber gar nicht sein), und Erzeugendensystem E enthält alle Einerteilmengen von Q. Die erzeugte Sigma-Algebra von E ist dann aber viel einfacher zu beschreiben: Das ist einfach die Potenzmenge von Q.

Frage beantwortet
Droggelbecher1

Droggelbecher1 aktiv_icon

21:27 Uhr, 09.10.2019

Antworten
Vielen Dank! Das hat mir sehr geholfen.