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Erzeuger einer Sigmaalgebra
Universität / Fachhochschule
Funktionalanalysis
Tags: Funktionalanalysis
 
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Ich soll die Sigmaalgebra, die von Omega=R, E=[-a,a]:a€N0} erzeugt wird angeben. Ist das die Borelsche Sigmaalg? Desweiteren habe ich gelöst: Sigmaalg(E)=Q, leere Menge, {qi}, Q/{qi}} Für Omega=Q=q1,q2, E={qi}:i€N} Ist das richtig? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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a) Nein, die erzeugte Sigma-Algebra ist viiiel kleiner. Geh doch mal von dem Erzeugendensystem aus und überleg dir, was so die atomaren (= unteilbaren) Grundmengen in dieser Sigmaalgebra sind: Das sind zweifelsohne sowie . Diese Mengen bilden in ihrer Gesamtheit eine abzählbare disjunkte Zerlegung von . Damit ist klar, dass das Mengensystem aller möglichen (logischerweise abzählbaren) Vereinigungen dieser dann die erzeugte Sigma-Algebra bilden. Bei b) muss ich erstmal die Symbolik begreifen: Ok, ist irgendeine abzählbare Menge (z.B. die rationalen Zahlen, muss aber gar nicht sein), und Erzeugendensystem enthält alle Einerteilmengen von . Die erzeugte Sigma-Algebra von ist dann aber viel einfacher zu beschreiben: Das ist einfach die Potenzmenge von . |
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Vielen Dank! Das hat mir sehr geholfen. |
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