Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Erzeugung der Spaltensummennorm

Erzeugung der Spaltensummennorm

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: erzeugte Matrixnorm, l1-Norm, lp-Norm, Matrixnorm, Spaltensummennorm

HerrElch aktiv_icon

14:44 Uhr, 10.12.2020

Hallo zusammen,

ich habe ein Problem mit einer Übungsaufgabe aus meiner Mathematikvorlesung.
Die Aufgabe lautet wie folgt:
"Zeigen Sie, dass die Spaltensummennorm

∥

∥_{1}

von der l1-Norm

∥

∥_{1}

erzeugt wird."

Folgendes habe ich mir bereits überlegt:
Im Prinzip soll ich folgende Gleichheit zeigen:

∥

∥_{1}

= max_{1 \leq j \leq n} \sum_{i = 1}^{n} ∣ a_{i, j} ∣ =

sup_{x \in S_{1}}

∥

∥_{1}

mit:

S_{1} := {x \in K^{n}, ∥

∥_{1} = 1}

Und hier hänge ich fest. Ich weiß nicht so recht, wie ich eben jene Gleichung zeigen soll. Ich kann zwar die Norm ausschreiben, aber dann bin ich immer noch weit davon entfernt irgendetwas gezeigt zu haben. Mein Professor meinte noch, das ganze wäre "ganz einfach" und hat irgendetwas von "umkippen" gemeint.
Ich glaube er meint, die adjunkte Matrix zu betrachten, weil dann ja dort im Prinzip die Zeilensummenform gebildet wird, welche aus der Maximumsnorm erzeugt wird.
Trotzdem verstehe ich nicht so ganz, was mir das bringen soll, weil ich ja dann ja zwei verschiedene Normen betrachte...

Kann mir jemand weiterhelfen? Oder hat jemand einen Start für den Beweis oder einen Hinweis, was ich noch tun kann?

Vielen Dank und LG :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

14:52 Uhr, 10.12.2020

Zeige zuerst allgemein

∥ A x ∥_{1} \leq max_{j} \sum_{i} ∣ a_{i j} ∣

für

x

mit

∥ x ∥_{1} \leq 1

.
Und dann durch eine passende Auswahl von

x

, dass

<

nicht gilt.

HerrElch aktiv_icon

15:15 Uhr, 10.12.2020

Danke für deine Antwort:

ich tue also Folgendes:

∣ ∣ A x ∣ ∣_{1} = ∣ ∣ \sum_{j = 1}^{n} a_{i, j} x_{j} ∣ ∣ = \sum_{i = 1}^{n} (\sum_{j = 1}^{n} a_{i, j} x_{j}) \leq \sum_{i = 1}^{n} (\sum_{j = 1}^{n} a_{i, j})

(weil

x \leq 1

)

Nun müsste gezeigt werden:

\sum_{i = 1}^{n} (\sum_{j = 1}^{n} a_{i, j}) \leq max_{1 \leq j \leq n} \sum_{i = 1}^{n} a_{i, j}

Das kann doch aber nicht stimmen, da das Maximum aus einer Menge von positiven Werten doch nicht größer sein kann, als die Summe dieser Werte, oder?

Liebe Grüße

DrBoogie aktiv_icon

15:37 Uhr, 10.12.2020

A x

ist ein Vektor und nicht

\sum_{j = 1}^{n} a_{i j} x_{j}

, was eine Zahl ist.
Richtig ist

A x = (\sum_{j = 1}^{n} a_{1 j} x_{j}, \sum_{j = 1}^{n} a_{2 j} x_{j}, . . ., \sum_{j = 1}^{n} a_{n j} x_{j})

, also

∥ A x ∥ = \sum_{i = 1}^{n} ∣ \sum_{j = 1}^{n} a_{i j} x_{j} ∣ \leq \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} ∣ a_{i j} ∣ \cdot ∣ x_{j} ∣ = \sum_{j = 1}^{n} (∣ x_{j} ∣ \sum_{i = 1}^{n} ∣ a_{i j} ∣) \leq \sum_{j = 1}^{n} (∣ x_{j} ∣ \cdot max_{j} \sum_{i = 1}^{n} ∣ a_{i j} ∣) =

= max_{j} \sum_{i = 1}^{n} ∣ a_{i j} ∣ \cdot \sum_{j = 1}^{n} ∣ x_{j} ∣ \leq max_{j} \sum_{i = 1}^{n} ∣ a_{i j} ∣

HerrElch aktiv_icon

16:45 Uhr, 10.12.2020

Vielen Dank. Das habe ich jetzt verstanden. :-)

Zu dem Zweiten Teil. Ich habe jetzt überlegt, was ich sinnvoller Weise für x einsetzen könnte.
Es geht doch dabei nicht um einen wirklich konkreten Wert den ich einsetze (also z.B. x = 0 ) sondern warscheinlich muss x in irgendeinem Verhältnis zur Gleichung stehen, damit sich Dinge "auslöschen" und nur das Ergebnis übrig bleibt.

Oder liege ich da falsch und ich suche muss wirklich z.B. x = 0 setzen?

DrBoogie aktiv_icon

16:55 Uhr, 10.12.2020

x = 0

im Sinne des Nullvektors? Das ist sinnlos, man braucht schon einen Vektor mit Norm =1.
Ich würde

x = (1, 0, 0, . . .)

x = (0, 1, 0, . . .)

usw. versuchen.

HerrElch aktiv_icon

17:29 Uhr, 10.12.2020

Ich fürchte ich tappe im Dunkeln.
Ich verstehe nicht so recht, was ich jetzt machen soll. Soll ich da ein beliebiges x = (0, ..., 1, ..., 0) auswählen oder soll das in Abhänigkeit von i machen? Also nicht nur einen sondern i von diesen Vektoren verwenden und dann ein

x_{i}

konstruieren, dass für jedes i den i-ten Einheitsverktor darstellt?

DrBoogie aktiv_icon

17:39 Uhr, 10.12.2020

Im Zweifel muss man einfach bisschen rechnen, oft sieht man dann die Lösung.

Mit

x = (1, 0, 0, . .)

haben

A x = (a_{11}, a_{21}, . . ., a_{n 1})

und

∥ A x ∥ = \sum_{i = 1}^{n} ∣ a_{i 1} ∣

.
Mit

x = (0, 1, 0, . .)

haben

A x = (a_{12}, a_{22}, . . ., a_{n 2})

und

∥ A x ∥ = \sum_{i = 1}^{n} ∣ a_{i 2} ∣

Usw. bis

x = (0, 0, . . ., 0, 1)

und

∥ A x ∥ = \sum_{i = 1}^{n} ∣ a_{i n} ∣

Damit haben:

∥ A ∥ = sup_{x : ∥ x ∥ = 1} ∥ A x ∥

, also ist

∥ A ∥ \geq

jedes

∥ A x ∥

von oben, denn alles diese

x

haben Norm

1

. Und weil es

\geq

jedes ist, ist es auch

\geq

Maximum über alle. Also

∥ A ∥ \geq {max}_{j = 1}^{n} \sum_{i = 1}^{n} ∣ a_{i j} ∣

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1522570

1522541

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?