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Es gibt keine quadratische Matrizen AB - BA = I_n

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Matrix, matriz, Matrizenrechnung, quadratische Matrix

ubik89 aktiv_icon

09:40 Uhr, 26.03.2015

Hallo,

ich muss folgende Aussage beweisen:

Es gibt keine quadratische Matrizen

A, B \in M_{n \cdot n} (K),

für die AB - BA = I_n gilt.

Leider weiß ich keinen Ansatz, wie ich das machen soll.

Kann mir jemand helfen?

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Matrizen - Determinante und inverse Matrix
Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren

anonymous

10:04 Uhr, 26.03.2015

Du könntest zeigen, dass die Werte auf der Hauptdiagonalen von

A B - B A

alle gleich 0 sind, weshalb

A B - B A

nicht die Einheitsmatrix sein kann.
(Es reicht ja schon ein Eintrag, der nicht passt. Zum Beispiel der an Position

(1, 1),

welcher bei

A B - B A

gleich 0 ist, bei der Einheitsmatrix allerdings gleich 1 ist.)

Oder es geht auch recht einfach über die Spur, welche bei

A B - B A

gleich 0 ist und bei

I_{n}

gleich

n,

also ungleich

0,

ist.

ubik89 aktiv_icon

10:05 Uhr, 26.03.2015

Danke.

Bummerang

10:31 Uhr, 26.03.2015

Hallo,

also bei symmetrischen Matrizen A und

B

will ich kenkyu gerne folgen, aber hier ist keine Symmetrie vorausgesetzt worden...

Beispiel:

(\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 5 & 11 \\ 11 & 25 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 10 & 14 \\ 14 & 20 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 5 & - 4 \\ - 4 & 5 \end{matrix})

Da steht überhaupt keine Null in der Diagonalen!

anonymous

10:50 Uhr, 26.03.2015

Uups, da habe ich tatsächlich bei meiner Rechnung an einer Stelle tatsächlich nicht genau aufgepasst. Das mit der 0 auf der Hauptdiagonalen von

A B - B A

stimmt so nicht.

Das Argument mit der Spur passt aber.
Denn die Spur ist linear und Matrizen

A \in K^{n \times m}

und

B \in K^{m \times n}

dürfen unter der Spru vertauscht werden.
Also gilt für beliebige quadratische Matrizen

A, B \in K^{n \times n} :

t r (A B - B A) = t r (A B) - t r (B A) = t r (A B) - t r (A B) = 0 \neq n = \sum_{k = 1}^{n} 1 = t r (I_{n})

ubik89 aktiv_icon

10:51 Uhr, 26.03.2015

Also ich habe das über die Spur bewiesen:

AB - BA = I_n

Das heißt:

Spur(AB)-Spur(BA) = Spur(I_n)

\sum_{i = 1}^{n} \sum_{k = 1}^{n} a_{i k} \cdot b_{i k} - \sum_{i = 1}^{n} \sum_{k = 1}^{n} b_{i k} \cdot a_{i k} = n

0 = n

Was ja aber nicht sein kann, denn

n

muss ja Anzahl der Diagonalelemente sein.

anonymous

10:59 Uhr, 26.03.2015

Bei deiner Berechnung der Spur passen die Indizes nicht. Da müsste stehen:

\sum_{i = 1}^{n} \sum_{k = 1}^{n} a_{i k} \cdot b_{k i} - \sum_{i = 1}^{n} \sum_{k = 1}^{n} b_{i k} \cdot a_{k i}

Und das ist dann

0,

weil man bei einer Doppelsumme die Indizes umbenennen kann

\sum_{i = 1}^{n} \sum_{k = 1}^{n} a_{i k} \cdot b_{k i} - \sum_{k = 1}^{n} \sum_{i = 1}^{n} b_{k i} \cdot a_{i k}

und anschließend die Summationsreihenfolge vertauschen kann (kein Problem ist, da nur endlich viele Summanden).

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