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Es sei G eine nicht-abelsche Gruppe der Ordnung p3

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Tags: Finanzmathematik, Gruppen, Körper, polynom, Relation., Ring, Sonstig

S-amalgh

21:49 Uhr, 30.10.2020

(a)

Es sei

G

eine nicht-abelsche Gruppe der Ordnung

p 3,

für eine Primzahl

p

. Zeigen Sie, dass das Zentrum
von

G

genau

p

Elemente enthält.

(b)

Zeigen Sie, dass es genau zwei Isomorphieklassen nicht-abelscher Gruppen der Ordnung 8 gibt.

Hinweis: Zeigen Sie, dass jede solche Gruppe ein Element der Ordnung 4 enthält, betrachten Sie die
davon erzeugte Untergruppe und deren Nebenklassen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung
Raummessung

ermanus aktiv_icon

18:04 Uhr, 31.10.2020

Hallo,
zu (a): Nach einem Satz über

p

-Gruppen besteht das Zentrum

Z

einer
solchen Gruppe nicht nur aus dem neutralen Element,
d.h.

# (Z) = p, p^{2}

oder

p^{3}

. Im letzten Fall wäre

G

dann trivialerweise abelsch. Untersuchen wir also die
Situation

# (Z) = p^{2}

:
Da das Zentrum ein Normalteiler ist, bekommen wir

# (G / Z) = p^{3} / p^{2} = p

, also eine zyklische Faktorgruppe

{Z, a Z, \dots, a^{p - 1} Z}

.
Seien nun

x, y \in G

. Dann gibt es

i, j \in {0, \dots, p - 1}

und

z_{p}, z_{y} \in Z

, so dass

x = a^{i} z_{x}, y = a^{j} z_{y}

ist.
Wir berechnen

x y = a^{i} z_{x} a^{j} z_{y} = a^{i} a^{j} z_{x} z_{y} = a^{i + j} z_{x} z_{y} = a^{j + i} z_{y} z_{x} = \dots = y x

,
d.h.

G

ist abelsch.
Da aber

G

nichtabelsch sein soll, folgt

# (Z) = p

.
Gruß ermanus

S-amalgh

19:30 Uhr, 31.10.2020

Alles klar danke seehr! :-))

S-amalgh

19:36 Uhr, 31.10.2020

Hast du noch Idee für

(b)

? Es tut mir leid wenn ich dich störe

DrBoogie aktiv_icon

19:42 Uhr, 31.10.2020

www.matheboard.de/archive/450525/thread.html

ermanus aktiv_icon

20:30 Uhr, 31.10.2020

Hier noch meine Überlegungen zu (b):
Hätte jedes Element von

G

eine Ordnung

\leq 2

, dann
wäre bekanntlich(!)

G

abelsch.
Also besitzt

G

eine zyklische Untergruppe

H = < a >

der Ordnung 4, also

o r d (a) = 4

. Wegen

(G : H) = 2

ist

H

ein Normalteiler von

G

und es ist

G = H \dot{\cup} H b

mit einem

b \in G \ H

.
Es ist

b a \in b H = H b

.
Daher muss

b a = a b, a^{2} b

oder

a^{3} b

sein.
Wäre

b a = a b

, dann wäre

G

abelsch.
Wäre

b a = a^{2} b

, dann hätte man

b a b^{- 1} = a^{2}

, folglich

b a^{2} b^{- 1} = a^{4} = e

, also

a^{2} = e

, was falsch ist.
Damit haben wir:

b a = a^{3} b

.

Da

b^{2} \in H

gilt, folgt:

wäre

b^{2} = a

, dann wäre

G = < b >

zyklisch.
Wäre

b^{2} = a^{3} = a^{- 1}

, dann wäre

G = < b^{- 1} >

auch zyklisch.
Folglich bleiben nur die beiden Möglichkeiten
1.

b^{2} = e

und 2.

b^{2} = a^{2}

.
Die erste Möglichkeit liefert die Diedergruppe,
die zweite die Quaternionengruppe.

Gruß ermanus

S-amalgh

22:56 Uhr, 31.10.2020

Danke erstmal für deine Antwort.
was meinst du mit "bekanntlich(!)" also dieses Zeichen. und ∪^. noch ?

S-amalgh

22:57 Uhr, 31.10.2020

@DrBoogie
Dankeschön! :-)

ermanus aktiv_icon

23:43 Uhr, 31.10.2020

Mit "bekanntlich(!)" meine ich, dass du, falls du es nicht weißt, bitte darüber
nachdenken mögest, obwohl es die Spatzen vom Dach pfeifen ;-)

\dot{\cup}

bedeutet disjunkte Vereinigung.
Gruß ermanus

S-amalgh

00:37 Uhr, 01.11.2020

Haha

ermanus aktiv_icon

09:30 Uhr, 01.11.2020

Wenn alles klar ist, bitte abhaken !

S-amalgh

13:40 Uhr, 01.11.2020

Ja alles klar Dankeschön! :-))

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