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Es sei eine Menge und eine Relation gegeben...

Universität / Fachhochschule

Relationen

Tags: Halbordnung, Menge, Mengenlehre, Relation.

 
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anonymous

anonymous

16:08 Uhr, 29.11.2020

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Hallo,

ich benötige eine Lösung für folgende Aufgabe:

Es seien eine Menge A={1,2,3,4,5} und eine Relation R={(1,1),(1,4),(2,1),(2,2),(3,3),(3,5),(4,3),(4,5),(5,5)} auf A gegeben.

a) Warum ist R keine Halbordnung?
b) Welche Elemente müssen mindestens zu R hinzugefügt werden, um eine Halbordnung zu erhalten? Begründen Sie.
c) Ist die unter b) erhaltene Halbordnung eine totale Ordnung? Bwgründen Sie ihre Antwort.

Für Antworten samt Erklärung wäre ich dankbar!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

16:16 Uhr, 29.11.2020

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Halbordnung ist reflexiv, transitiv und antisymmetrisch.
Diese ist nicht reflexiv, denn (4,4) ist nicht drin.
Sie ist auch nicht transitiv, denn (1,4) und (4,3) sind drin, aber (1,3) nicht.
anonymous

anonymous

17:10 Uhr, 29.11.2020

Antworten
Okay kannst du mir noch sagen, ob es dann eine totale ORdnung ist oder nicht?
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

17:21 Uhr, 29.11.2020

Antworten
Für Halbordnung fehler dir also (4,4) und (1,3).
Aber auch (1,5), (2,3), (2,4) und (2,5) - wieder aus Transitivität.

Damit hast du dann {(1,1),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,3),(3,5),(4,3),(4,4),(4,5),(5,5)}.
Das ist eine totale Ordnung, wenn wir jetzt (a,b) mit a<b bezeichnen, dann haben
2<1<4<3<5.
anonymous

anonymous

17:40 Uhr, 30.11.2020

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@DrBoogie
Das habe ich nicht ganz verstanden. Also ist es eine totale Ordnung und aus welchem Grund, weil die kleiner gleich Setzungen haben ja nicht gepasst?!
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

17:59 Uhr, 30.11.2020

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"Also ist es eine totale Ordnung und aus welchem Grund, weil die kleiner gleich Setzungen haben ja nicht gepasst?!"

Sorry, aber was meinst du? Verstehe die Frage nicht.
Du hast eine totale Ordnung, weil für jedes Paar der Elemente (a,b) gilt entweder a≤b oder b≤a. Das ist die Definition der totalen Ordnung.
Natürlich hat ≤ in diesem Fall nichts mit dem ≤ zu tun, das wir aus unserem Alltag kennen.
Dieses ≤ ist durch die Relation definiert. Vielleicht hilft es, wenn wir das mit ≤R bezeichnen, wobei R die Relation ist.