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Euklidisches Dreieck - fehlende Größen berechnen

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: Euklid, Geometrie, Sonstig

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11:21 Uhr, 18.05.2017

Es sei ein Dreieck ABC in E² mit Seitenlänge

b = 4

und Innenwinkel

α = (\frac{Π}{6})

und

a = 1

Berechne die fehlenden Größen.

Meine Idee war jetzt:

\frac{sin α}{a} = \frac{sin β}{b} = \frac{sin γ}{c}

wenn ich

α, a

und

b

einsetze kann ich ja nach

sin β

umstellen, oder? Ich bin mir nur nicht sicher, ob ich das korrekt mache. Umkehr von sinus wäre ja arcsin. aber wie berechne ich das jetzt??

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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11:24 Uhr, 18.05.2017

"wenn ich

α, a

und

b

einsetze kann ich ja nach

sin β

umstellen, oder?"
ja, so ist es korrekt
;-)

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11:26 Uhr, 18.05.2017

Klasse :-D)
und kannst du mir mit arcsin helfen? Da steh ich auf dem Schlauch...

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11:28 Uhr, 18.05.2017

stell mal nach

sin β =

um, dann sehen wir weiter.

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11:32 Uhr, 18.05.2017

wenn ich

α, a

und

β

einsetze erhalte ich:

\frac{sin α}{a} = \frac{sin β}{b}

sin (\frac{π}{6}) = \frac{sin β}{4}

4 sin (\frac{π}{6}) = sin β

arcsin 4 sind

(\frac{π}{6}) =

arcsin

(sin β)

arcsin

4 sin (\frac{π}{6}) = β

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11:40 Uhr, 18.05.2017

sorry,

sin β = sin b \cdot \frac{α}{a}

jetzt Zahlen einsetzten.
Bestimme zuerst

sin α = sin (\frac{π}{6})

als Zahlenwert.
und setz alles in die obige Formel ein.

jetzt muss ich leider weg . . .

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11:46 Uhr, 18.05.2017

warum soll ich

α = sin (\frac{π}{6})

berechnen?

α

ist mir doch gegeben mit

\frac{π}{6}

??

kann ich das umstellen,

sin α = sin a \cdot \frac{β}{b}

umgestellt wäre das dann

\frac{α}{a} \cdot b = β

Respon

11:53 Uhr, 18.05.2017

Angabe:

a = 1, b = 4, α = \frac{π}{6}

Bist du dir da sicher ?
Oder ist vielleicht

β = \frac{π}{6}

oder

γ = \frac{π}{6}

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11:55 Uhr, 18.05.2017

Ja ;-)

Respon

11:57 Uhr, 18.05.2017

Was meinst du mit ja?

α = \frac{π}{6}

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11:58 Uhr, 18.05.2017

das sind die in der Aufgabe vorgegebenen Maße.

Respon

11:59 Uhr, 18.05.2017

Maße schon, aber Bezeichnungen ?

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12:01 Uhr, 18.05.2017

auch. Es ist gegeben

b = 4

Innenwinkel

α = \frac{Π}{6}

und

a = 1

Respon

12:02 Uhr, 18.05.2017

Was ist denn

sin (\frac{π}{6})

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12:04 Uhr, 18.05.2017

Ich verstehe nicht, worauf du hinaus willst? soll ich

sin (\frac{π}{6})

berechnen? Ich suche

β

und

γ,

sowie die Seite

c

Respon

12:06 Uhr, 18.05.2017

Aber

sin (\frac{π}{6})

kommt doch in deiner Formel vor. Das ist ein Zahlenwert ! Wie groß ist also

sin (\frac{π}{6})

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12:12 Uhr, 18.05.2017

also ich hab jetzt aus meiner Formel oben

β

berechnet
arcsin 4sin

(\frac{π}{6}) = β

β \approx 2,09

berechne ich aus der Formel von funke_61

sin β = sin b \cdot \frac{α}{a}

dann stelle ich um zu

\frac{π}{6} \cdot 4 = β

und erhalte für

β

wieder

\approx 2,09

ist das so korrekt?

Enano

12:17 Uhr, 18.05.2017

Funke ist in der Eile der sin verrutscht, denn der gehört selbstverständlich vor den Winkel

α

und nicht vor

b!

Respon

12:19 Uhr, 18.05.2017

Du hattest ganz oben korrekterweise Folgendes:

\frac{sin (α)}{a} = \frac{sin (β)}{b}

b \cdot sin (α) = a \cdot sin (β)

\Rightarrow

sin (β) = \frac{b}{a} \cdot sin (α)

sin (β) = \frac{4}{1} \cdot sin (\frac{π}{6})

sin (β) = 4 \cdot 0,5

sin (β) = 2

Und knistert es jetzt ?

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12:21 Uhr, 18.05.2017

okay daher

sin α .

. aber meine Berechnung war jetzt dennoch korrekt, oder? :-D)

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12:22 Uhr, 18.05.2017

ja, sorry,
oben ist mir ein furchtbares Missgeschick passiert. Es ist genau so, wie Enano schreibt.
Dankeschön Enano;

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12:28 Uhr, 18.05.2017

kann ich für die Berechnung von

γ

die Innenwinkelsumme benutzen?

γ =

180°

- (α + β)

?
dann erhalte ich für

γ \approx

177,38°

für die Berechnung von

c

stelle ich dann auf
c² = a²

+

b² -2ab

cos γ

und erhalte für

c \approx 0,957

bin ich auf der richtigen Spur oder irgendwo falsch abgebogen?

Respon

12:31 Uhr, 18.05.2017

Falsch abgebogen !
Wie kommst du denn auf

2,09

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12:42 Uhr, 18.05.2017

ich hatte nach arcsin umgestellt, um

β

zu berechnen?
Also von vorne

\frac{sin α}{a} = \frac{sin β}{b}

umgestellt erhalte ich

sin β = 4 \cdot sin (\frac{π}{6})

um auf

β

zu kommen, muss ich doch den arcsin bilden, oder täusche ich mich?
dann ensteht arcsin

(4 \cdot sin (\frac{π}{6})) = β

somit erhalte ich für

β \approx 2,09

Respon

12:47 Uhr, 18.05.2017

Du bringst da einiges durcheinander !

β = a r c s i n (4 \cdot sin (\frac{π}{6}))

Das wäre noch korrekt. Und jetzt die Zahlenwerte

: sin (\frac{π}{6}) = 0,5 \Rightarrow 4 \cdot sin (\frac{π}{6}) = 4 \cdot 0,5 = 2

Also

β = a r c s i n (2)

Und was ist jetzt

a r c s i n (2)

?
Also läßt sich das Dreieck nur berechnen, wenn nicht

α = \frac{π}{6},

sondern entweder

β = \frac{π}{6}

oder

γ = \frac{π}{6}

Alles klar ?
Dann Beispiel abhaken.

Respon

12:59 Uhr, 18.05.2017

Hier kannst du kontrollieren:
rechneronline.de/pi/dreieck.php

Enano

14:03 Uhr, 18.05.2017

"somit erhalte ich für β≈2,09 ?!"

Das erhältst du, wenn du

4 \cdot \frac{π}{6}

rechnest, aber

arcsin

(4 \cdot sin (\frac{π}{6}))

und

4 \cdot

arcsin

(sin (\frac{π}{6}))

oder auch

sin (\frac{π}{6})

und

\frac{π}{6}

sind nicht das Gleiche!

"dann erhalte ich für γ≈ 177,38°"

Wie ist das möglich, wenn die Summe der Innenwinkel im Dreieck 180°beträgt und

α = \frac{π}{6} =

30° sein soll?

Versuch doch mal ein Dreieck mit den von dir ermittelten Werten zu skizzieren.

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13:03 Uhr, 22.05.2017

Also, ich glaub ich verstehe es.. Durch die Begrenzung kann ich arcsin

(2)

ja gar nicht berechnen... Gibt es eine andere Möglichkeit oder kann ich sagen, dass die Aufgabe nicht lösbar ist?
Im weiteren Verlauf soll ich mit

α

und

b

weiter rechnen, nur a variiert

(a = 2, a = 2

Wurzel 2 und

a = 6)

grob überblickt kann ich es nur berechnen, wenn

a = 6

da das im Bereich

\frac{π}{2}

liegt?

Enano

02:45 Uhr, 23.05.2017

"Gibt es eine andere Möglichkeit oder kann ich sagen, dass die Aufgabe nicht lösbar ist? "

Die andere Möglichkeit hatte dir Respon ja schon aufgezeigt

(s

18.5 ., 12 : 47),

nämlich dass von den üblichen Dreiecksbezeichnungen abgewichen wurde und mit

α

der Winkel zwischen

b

und

a (γ)

oder a und

c (β)

gemeint ist. In diesem Fall müsste dir aber zu der Aufgabe eine Skizze vorliegen, aus der das hervor geht.
Andernfalls kann es ein solches Dreieck nicht geben.

"Im weiteren Verlauf soll ich mit α und

b

weiter rechnen, nur a variiert

(a = 2, a = 2

Wurzel 2 und

a = 6)

grob überblickt kann ich es nur berechnen, wenn

a = 6

da das im Bereich π2 liegt?"

Wie kommst du denn darauf?

Z . B . : a = 2, b = 4, α =

30°

(\frac{π}{6})

sin β = \frac{b}{a} \cdot sin α = \frac{4}{2} \cdot sin

30°

= 2 \cdot 0,5 = 1

β =

arcsin (1)

=

90°

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