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Euklid'sche Transformationen und Kamerakalibrierun
Universität / Fachhochschule
Matrizenrechnung
Tags: Kameratransformation, Matrizenrechnung, Rotation
 
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Die Aufgabenstellung habe ich als Bilder hochgeladen. Ich weiß ehrlich gesagt nichtmal mit den Aufgabenstellungen an sich etwas anzufangen und das Arbeitsmaterial was ich habe ist dürftig. Auch über google Recherchen habe ich so gut wie nichts herausbekommen. Ich weiß gerade mal was eine Euklid'sche Transformation ist, aber wie man irgendwelche Aussagen damit über das Rotationszentrum treffen soll ist mir schleierhaft. Ich weiß auch nicht wie eine Kameramatrix im Detail aufgebaut ist und was das mit Achsen im Weltkoordinatensystem zu tun hat. Ich hoffe ihr könnt mir wenigstens ein paar Denkansätze geben damit ich wenigstens ansatzweise in die Lage versetzt werde diese Aufgaben zu lösen. PS: auf mich warten noch 3 weitere solcher Aufgabenblöcke. Da fühlt man sich echt hilflos.   Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo Kokujou, zunächst mal ist das ein weites Feld. Und wenn Du sagst, das Du nicht mal die Aufgabestellung verstehst, dann erwartest Du vielleicht zu viel auf einmal, kann sein dass Dir deshalb auch noch niemand geantwortet hat. Konzentrieren wir uns deshalb mal auf Aufgabe 7.1a) Dazu habe ich Dir ein (blaues) Dreieck ABC skizziert (s.u.) und ein zweites (grünes) A'B'C' und auch den zugehörigen Rotationspunkt . Mal angenommen, der Punkt wäre nicht gegeben - wie kann man dann aus den beiden Dreiecken auf die Lage von schließen? Gruß Werner  |
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Wenn ich mir das Bild ansehe würde ich vielleicht versuchen eine Kreisformel mittels zweier Punkte des Dreiecks zu rekonstruieren um dann den Mittelpunkt daraus abzulesen. Soweit ich weiß gibt es da auch noch das Stichwort Triangulation, aber ich weiß nicht ob es dafür genug Informationen gibt. Mich würde vor allem interessieren wo der Rotationspunkt, oder wie man es nun nennen mag, in dert Matrix zur Euler'schen Transformation notiert ist. Irgendwo muss man doch defninieren können um welchen Punkt es rotiert. Ich weiß in kann man sagen um welche Achse es rotiert aber das ist sicher nicht das gleiche wie ein einzelner Punkt. |
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Denk mal weniger in Formeln ... Wo liegen alle Punkte, die von zwei gegebenen Punkten und den gleichen Abstand haben. Jeder dieser Punkte wäre doch ein Kandidat, für den Mittelpunkt eines Kreises auf dem und liegen. Mit Triangulation hat das nichts zu tun. Wenn Du Dir die Bilder einer Eulerschen Transformation so anschaust ( de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Winkel um welchen Punkt wird den da immer rotiert? |
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Was meinst du mit wo liegen diese Punkte. Dann könnte man das Problem vielleicht so angehen dass man ein weiteres Dreieck konstrukiert mit den Eckpunkten und wobei das Dreieck die Eigenschaft erfüllen muss, dass der Winkel bei den Grad der Rotation haben muss. Wie sähe das denn Formelmäßig aus? Der Winkel ist ja in der Rotationsmatrix gegeben So wie ich das sehe rotieren die immer irgendwie um den Mittelpunkt des Gebildes oder eben der Koordinatenurpsung. Ich frage mich nur wo das steht. Oder ist mit Rotationspunkt vielleicht die Translationskomponente gemeint? Ich habe mal mit Mathematika rumgespielt um mir das ganze zu visualisieren |
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ich habe Dir noch mal eine Skizze angehängt. Dort siehst Du zwei Punkte und . Der Abstand von z.B. zu und habe ich mit den beiden grünen Strecken markiert. Die beiden grünen Strecken sind gleich lang; d.h. es existiert auch ein Kreis mit dem Mittelpunkt und einem Radius, der so lang ist wie die grüne Strecke, auf dem beide(!) Punkte und liegen. Gleiches gilt für . Wo liegen alle Punkte, mit dieser Eigenschaft? Und zur Eulertransformation: Ja - eine Eulersche Transformationsmatrix beschreibt lediglich eine Rotation um den Koordinatenursprung. Nichts anderes!  |
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Naja die Punkte liegen alle auf dem Kreis um den Rotationspuntk mit dem entsprechenden radius. Aber die Aufgabe sagte ja ich soll einen anderen Rotationspunkt whlen. Wenn die euler'sche Transformation jedes mal um den gleichen Rotationspunkt rotiert frage ich mich, was dann mit der Aufgabe gemeint ist. Den ersten Part der Aufgabe kriege ich gut hin, einfach mit Mathematika. Obwohl ich deine Skizzen besser finde womit hast du die gemacht? Zum zweiten Teil würde ich eben nur noch wiederholen, dass ich ein Dreieck mit einem Winkel konstruieren würde, der dem in der Euler'schen Transformation entspricht und der die Punkte A und verbindet. Das würde doch eigentlich das Problem lösen oder? Wobei man nicht ganz den Winkel nehmen müsste. Wenn man 2 benutzerdefinierte Winkel hat müsste man natürlich den Betrag der Differenz dieser Winkel nehmen. PS: es wäre hilfreich wenn mans die vorherigen Beitrage beim antworten sehen würde und standardmäßig "Rückfrage" ausgewählt wäre. Hab schon 2mal vergessen abzusenden |
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Es geht doch zunächst darum, den Rotationspunkt zu finden! Es heißt in der Aufgabe: "Versuchen Sie eine allgemeingültige Definition für die Lage des Rotationszentrums zu finden". Und die Punkte, die alle als Rotationszentrum von und in Frage komme, liegen alle auf der Mittelsenkrechten dieser beiden Punkte. Und wenn man jetzt zwei Paare von Punkten hat , und , - wie findet man das gemeinsame Rotationszentrum? Weiterhin ist eben nicht von einer Eulerschen Transformation die Rede (da hast Du mich anfangs auch verwirrt), sondern von der Euklidischen Transformation. Letztere besteht nämlich aus einer Rotation und(!) aus einer Verschiebung (Translation). Und nur so kann man ein Rotationszentrum außerhalb des Koordinatenursprungs wählen! Die Bilder habe ich mit Cinderella gemacht -> cinderella.de Und um gleich das nächste Thema vorweg zu nehmen: Kannst Du eine reine Drehmatrix in 2D ausstellen? |
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OK also auf die Sache mit der Mittelsenkrechten wäre ich nicht gekommen. Ich hab kein gutes Auge für graphik darum hab ich das auch nicht wirklich gesehen, das überrascht mich jetzt etwaws. meine Methode wäre die einzige die mir da eingefallen wäre. Und wenn man dann ein zweites Paar hat muss man ja nur den Schnittpunkt beider Mittelsenkrechten ermitteln warscheinlich wieder über das Kreuzprodukt wenn man die Geraden in homogenen Koordinaten ausdrückt Und ja, sorry!! Ich bin da mit euler'sche und euklid'sche Transformation völlig durcheinander geraten. Ich weiß nichtmal ob es eine euler'sche gibt obwohl ich den Namen im zusammenhang mit winkeln gehört habe. Also kann ich festhalten dass wir um das Rotationszentrum zu verschieben nur den Translationsvektor anpassen müssen? Und rechentechnisch sähe das so aus, dass man den die Gerade zwischen A und findet, dazu die senkrechte findet und das gleiche noch mit und macht um dann den Schnittpunkt zu bestimmen, wäre das korrekt? |
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'Deine Methode' würde nicht funktionieren, zumal Du den Winkel gar nicht kennst. Schnittpunkt der Mittelsenkrechten ist richtig. Dass Du homogene Koordinaten kennst, ist gut. Auch Deine anderen Annahmen sind richtig. Kannst Du jetzt 7.1a) lösen? Tipp: versuche das Rotationszentrum in den Ursprung zu verschieben. Oder: versuche eine allgemeine Transformation in zwei Translationen plus einer Rotation zu zerlegen. Noch ein Hinweis zu 7.2: Eine Kameramatrix (bei einer Kamera mit einem üblichen Objektiv!) kann nicht(!) durch eine euklidische Transformation beschrieben werden. Ich mache jetzt Schluss. Vielleicht morgen Abend wieder ... Gruß Werner |
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Der Winkel ist doch in der Rotationsmatrix gegeben die ja als definiert ist. So zumindest in so steht es bei mir im Skript. Darum wäre es möglich. Gut ich denke damit kann ich nicht lösen. Bei stellt sich mir zuerst die Frage: Warum? Warum zerlegt man in einen orthogonalen Anteil und einen parallelen Anteil? Es ist theoretisch nicht schwierig mittels Mathematika ein 2D-Objekt im 3D-Raum zu zeichen, erst orthogonal und dann parallel zur Zielachse zu rotieren, aber ich versteh ehrlich gesagt den Sinn nicht. Warum translatiert man nicht direkt komplett, gibt es da Probleme? Danke für deine Zeit! Das hat mein Verständnis für den Teil grundlegend verbessert. Bei Kameramatrizen wird es aber besonders schwierig, da ich keine Ahnung hab wie so eine Kameramatrix überhaupt richtig aussieht. |
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Hallo Kokujou, Du kennst die Matrix für die Drehung in 2D aus dem Skript. Hilfreich wäre es dies auch in einem tieferen Sinn zu verstehen. Für was steht der Spaltenvektor ? Die Antwort darauf kann sich erschließen, wenn Dir klar wird, was man mit dieser Matrix eigentlich anstellt. Es sei eine Punktmenge (z.B. ein Dreieck) in 2D gegeben und dieses soll jetzt 'gedreht' werden. Nehmen wie mal eine Punkt heraus (s. Skizze im Anhang) und schaue Dir seine X-(grün) und Y-(gelb)Koordinate an. Und wenn ich Dir jetzt verrate, dass der Vektor die 1. Spalte der Matrix ist und der Vektor die 2.Spalte - wie kommt man dann mit den Koordinaten von nach ? Zu Deiner Frage zu b) Stelle Dir den 2D-Fall vor, aber mit einer zusätzliche Translation. Dann könnte man dies doch auch als eine Projektion des allgemeinen 3D-Falls in Richtung der Rotationsachse interpretieren. Das Bild der Achse wäre dann nur ein Punkt, nämlich der Drehpunkt in 2D. Und damit könntest Du den 3D-Fall auf den 2D-Fall zurück führen. Was ist jetzt genau Dein Problem um die Aufgabe 7.1a) zu lösen? Gruß Werner  |
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Also ich sehe, dass der Vektor wohl auf der rotierten x-Koordinate liegt und parallel zur rotierten y-Achse liegt. Ich müsste jetzt raten aber ich schätze durch simple Multiplikation erhält man dann die Rotation. Aber ich könnte dazu jetzt nich viel erklären. Also wir werden eine Rotation an wie wir sie gerade besprochen haben... Die Drehachse in ist dann der Drehpunkt in hab ich das Richtig verstanden? Obwohl ich eigentlich dachte der Drehpunkt wird durch den Translationsvektor bestimmt und die Achse durch die Rotationsmatrix... Aber trotzdem würde ich gerne wissen warum man das so macht? Ist das Vorgehen der Translation in denn anders? Ich meine man rotiert und dann bewegt man. Wieso zerlegt man dann den Translationsvektor er in den 2D-Fall und erweitert dann um die 3. Dimension? wäre das Ergebnis anders wenn man die Translation auf einmal durchführen würde? Das Einzige Problem bei ist jetzt nur noch das was du mir gezeigt hast in Formeln darzustellen ich denke das kriege ich hin. Heute hab ich leider keine Zeit mehr, da ich morgen ne Prüfung hab, gott sei dank nicht in diesem Fach. Aber könntest du mir noch einen Ansatz zu geben? Mit Kameramatrizen hab ich nicht viel Erfahrung und das Skript führt das nicht sehr gut aus. |
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Guten Abend Kokujou, Du fragst: "Aber trotzdem würde ich gerne wissen warum man das so macht?" Ich vermute mal stark, es ist einfacher als die Transformation auf einmal durchzuführen - versuche es mal selber ... zur Kameramatrix: siehe de.wikipedia.org/wiki/Projektionsmatrix_%28Photogrammetrie%29 Zunächst sollte klar sein, was die Kameramatrix tut. Sie transformiert eine Punkt aus dem 3-dimensionalen auf die 2-dimensionale Bildebene. Und dies macht man bequemer weise mit homogenen Koordinaten. D.h. ein Punkt in der Welt ist gegeben durch seine drei Koordinaten plus einem Wert (i.A.=1) und damit multipliziert man hier eine 3x4-Matrix und bekommt einen Vektor mit drei Koordinaten und anschließend dividiert man noch die ersten beiden durch den dritte. Die beiden ersten ergeben dann anschließend den Bildpunkt in der Bildebene. Zur Beantwortung der Fragen empfehle ich den Rückzug von 3D auf 2D. Dann reduziert sich die Bildebene zu einer Bildgeraden. In der ersten Skizze siehst Du ein blaues Koordinatensystem mit dem Ursprung , die optische Achse (Strich-Punkt), den Hauptpunkt (Zentrum der Zentralprojektion) und die Bildgerade (senkrecht), auf die jeder Punkt projiziert werden sollen. wird auf abgebildet. Der Punkt hat die Koordinaten . Das multipliziere ich mit der Kameramatrix (mit ) .. und das beantwortet gleich den zweiten Teil von 7.2 ".. und dass die vierte(letzte) Spalte der Projektion des Weltkoordinatensystems entspricht". Im nächsten Schritt schauen wir uns Punkte an, die auf der X-Achse des Weltkoordinatensystems liegen. Dazu habe ich mal drei eingezeichnet , und - fällt Dir auf, dass der dritte unendlich weit entfernt ist? Deshalb sieht man zwar seine Projektion , aber nicht den Punkt selbst. Die Berechnung von geht rein formal: lässt man gegen laufen, so fallen die Konstanten und nicht mehr in's Gewicht. Man erhält: und das ist Fluchtpunkt der X-Achse. ...das soll für heute reichen Gruß Werner   |
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Gut zur Kameramatrix das klingt einleuchtend! Bei der Skizze hab ich eine weile gebraucht. Also die orangene Linie ist wohl sowas wie das Bild sieht und projiziert das auf das Bild zu indem man den Schnitt mit der Bildebene und der Gerade von und sucht. Aber was ist der Punkt Unterhalb von und was hat es mit dem Pfeil auf sich? Danach wirds noch komplizierter. Die Kameramatrix ist Aber das sehe ich bei dir garnicht. Sind das überhaupt homogene Koordinaten oder hast du das jetzt komplett abgewandelt für inhomogene Koordinaten? Denn ein 3-Zeilen-Vektor bedeutet . Also was hat das mit einer Kameramatrix zutun? Die 2. Zeile fehlt komplett und die 3. spalte auch... |
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Guten Abend, ist hier das Zentrum der Zentralprojektion. Und wie Du schon richtig geschrieben hast, geschieht eine Abbildung eines Punktes indem man eine Gerade durch und zieht und der Schnittpunkt dieser Geraden mit der Bildebene (rosa) ist der Bildpunkt . Der Punkt unterhalb von ist der Nullpunkt des Bildsystems - und identisch mit dem Schnittpunkt der optischen Achse mit der Bildebene. Und der rötliche Pfeil im ersten Bild ist halt der Vektor wobei die 1 hier die homogene Koordinate ist - die ist im Bild nicht sichtbar. Eine Kameramatrix ist i.A. eine 3x4_Matrix - richtig. Ich schrieb: "Zur Beantwortung der Fragen empfehle ich den Rückzug von 3D auf 2D. Dann reduziert sich die Bildebene zu einer Bildgeraden." Ich habe die dritte Dimension einfach weg gelassen, daher fehlt auch die dritte Spalte (für die dritte Dimension) und die zweite Zeile (die zweite Dimension auf der Bildebene). Es in 3D zu zeichnen, wäre für mich sehr aufwendig. Aber alle Aussagen lassen sich 1:1 auf 3D übertragen. Ist Dir das mit dem Fluchtpunkt klar geworden? Gruß Werner |
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Also ich bin ehrlich gesagt mehr als beeindruckt. Darauf eine Kameramatrix von 3D auf 2D zu reduzieren wäre ich ja nie gekommen, geschweige denn wie man da überhaupt an der Matrix rumhantieren muss. was mich aber noch interessiert ist was die einzelnen Parameter bedeuten. Wie bist du z.B. darauf gekommen dass gleich 1 ist? Weiterhin sagst du ja O ist der Ursprung. Es ist aber ein 3D-Vektor. Wird er jetzt von homogenen Koordinaten in inhomogene konvertiert oder ist er tatsächlich 3D und der 3. Wert ist z=1? Weiter: Wir haben ja nur festgestellt, dass die z-Koordinate des zu projizierenden Punktes mit der 4. Spalte multipliziert wird. Wären die anderen Koordinaten ungleich 0 hätte man noch die anderen drin. Wir haben doch so nicht das ganze Koordinatensystem sondern nur den Ursprung projiziert oder nicht? oder braucht man für den Beweis tatsächlich nur den Koordinatenursprung? Und ja das mit dem Fluchtpunkt macht sinn. da wir ja hier in 2D unterwegs sind haben wir ja nur 2 Achsen und die y-Achse wäre verständlicherweise mit womit 7.2 dann vollständig bewiesen wäre richtig? das hilft mir sehr weiter Danke!! |
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Du fragst: "was mich aber noch interessiert ist was die einzelnen Parameter pij bedeuten." Habe ich ja versucht Dir das zu veranschaulichen. Die letzte Spalte der Kameramatrix beschreibt die Koordinate von in der Bildebene (bzw. auf der Bildgeraden) und über die drei (oder zwei) ersten Spalten kommt man zu den Fluchtpunkten der drei (oder zwei) Koordinatenachsen aus dem Weltsystem. "Wie bist du z.B. darauf gekommen dass p3,4 gleich 1 ist?" Das ist die homogene Koordinate. Die 'homogene Dimension' kannst Du Dir als eine zusätzlich Dimension in einem 3D (oder auch 2D)-Raum vorstellen. Dort wo die homogene Koordinate =1 ist, schneidet sie den betrachteten Raum - also dort stimmen ihre anderen Koordinaten mit denen im betrachteten Raum überein. Hier www.c-plusplus.net/forum/p1838131#1838131 ist das auf einer (Bildschirm)Seite recht schön und kurz erklärt. Ansonsten verweise ich an Tante Wikipedia und Tante Google. Ein Ursprung ist ein Ursprung und ist immer der Nullvektor - egal wie viel Dimensionen der umgebende Raum hat. Seine homogene Koordinate ist aber nur dann =1 wenn ich mich innerhalb des betrachteten Raums befinde (s.o.). Du schreibst: "Wir haben ja nur festgestellt, dass die z-Koordinate des zu projizierenden Punktes mit der 4. Spalte multipliziert wird. Wären die anderen Koordinaten ungleich 0 hätte man noch die anderen pi,j drin. Wir haben doch so nicht das ganze Koordinatensystem sondern nur den Ursprung projiziert oder nicht? oder braucht man für den Beweis tatsächlich nur den Koordinatenursprung?" Die Z-Koordinate hatte ich nicht erwähnt, da wie gesagt ich nur die Projektion von 2D auf eine Bildgerade beschrieben habe. Verwechsle nicht Z-Koordinate mit homogener Koordinate. Und wenn wird die Z-Koordinate mit der 3.Spalte der 3x4-Matrix multipliziert. Den Rest, den Du schreibst, verstehe ich nicht ... ich betrachte doch jeweils den Ursprung und dann die Dimensionen einzeln. Und am Ende addiert sich natürlich wieder alles. Die Fluchtpunktsuche mit der Y-Achse funktioniert natürlich genau wie bei X - das ist richtig. Gruß Werner |
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Je länger ich mit dir rede desto mehr leuchtet mir ein! Es ist wirklich erfrischend endlich zu verstehen was da vor sich geht! Nur noch eine Winzigkeit: Was die homogene Komponente ist weiß ich auch und das hatte ich auch an der entsprechenden Stelle mit z-Koordinate gemeint. Ich numeriere eben den Vektor mit Zahlen durch weil es doof klingt xte Zeile zu sagen wenn das gar keine Zeile ist. Aber trotzdem versteh ich nicht warum als einziges gleich 1 ist. Multipliziert man mit einem beliebigen Punkt resultiert die komplette 3. Zeile ja in der 2. Zeile des Zielvektors. Aber der Zielvektor ist ja nicht homogen, zumindest nicht in diesem Beispiel. von 4D homogen zu 3D homogen wäre das was anderes da das ja 3D zu 2D entspricht. Wir projizieren ja im Beispiel aber 2D also 3D homogen zu 2D inhomogen. Und multipliziert wird ja auch zeilenweise also man multipliziert den Vektor mit der ganzen Zeile. Eigentlich spielt es ja für die Aufgabe keine Rolle denn ob es nun 1 ist oder nicht es ist ja die . rolle und somit die Projektion des Weltkoordinatensystems aber verwirrend ist es trotzdem. Wegen dem letzten Punkt: Um ein Koordinatensystem zu projizieren muss cih also lediglich den Koordinatenurspruch projizieren und dann warrs das? Bei 7.3.a) wird es jetzt etwas eklatant. Die Formel ist, soweit ich das richtig sehe: mit P=KR(I|-C) wobei C das Kamerazentrum ist, ich schätze mal I ist die Einheitsmatrix, K ist dann wohl die Kameramatrix und R könnte eine Rotationsmatrix sein. zumindest hab ich mir das mal so im Skript zusammengesucht. Kannst du damit was anfangen im Zusammenhang mit der Aufgabe? |
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ich kann mir nicht erklären warum die Frage plötzlich geschlossen wurde obwohl ich jeden tag auf dieses "offen halten" Ding drücke... |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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