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Euler DGL Substitution

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: DGL, Differential, euler, Gewöhnliche Differentialgleichungen, Substitution

Theki aktiv_icon

15:04 Uhr, 09.06.2021

Hallo, ich habe eine Frage zu einer Aufgabe bei der ich die allgemeine Lösung einer Euler-DGL bestimmen soll. Ich habe folgende DGL gegeben:

r^{2} \frac{d^{2} u}{d r^{2}} + c_{1} r \frac{d u}{d r} + c_{0} u = 0

Nun soll ich eine Substitution mit

ξ = l n (r)

durchführen.
Ich habe es mir so gedacht:

\frac{d ξ}{d r} = \frac{1}{r}

, damit kann ich

d r

ersetzen.
Nun will ich auch

d r^{2}

ersetzen.
Wenn ich nun das Differential noch einmal durchführe, erhalte ich ja

\frac{d^{2} ξ}{d r^{2}} = - \frac{1}{r^{2}}

, oder? Wenn ich dann

d r^{2} = - \frac{d^{2} ξ}{r^{2}}

einsetze habe ich aber

d^{2} ξ

stehen, von dem ich nicht weiß, was es sein soll. Ich will ja eigentlich

d ξ^{2}

erhalten?
Die Lösung der Substitution weiß ich schon, es soll

\frac{d^{2} u}{d ξ^{2}} + (c_{1} - 1) \frac{d u}{d ξ} + c_{0} = 0

herauskommen, aber mir ist nicht ganz bewusst, wie ich darauf komme.
Vielen Dank für alle Antworten schonmal im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

DrBoogie aktiv_icon

15:21 Uhr, 09.06.2021

Erstens

\frac{d u}{d r} = \frac{d u}{d ξ} \cdot \frac{d ξ}{d r} = \frac{1}{r} \frac{d u}{d ξ}

\frac{d u}{d ξ} = r \frac{d u}{d ξ}

.

und dann

\frac{d^{2} u}{d r^{2}} = \frac{d}{d r} (\frac{d u}{d r}) = \frac{d}{d r} (\frac{1}{r} \frac{d u}{d ξ}) = - \frac{1}{r^{2}} \frac{d u}{d ξ} + \frac{1}{r} \frac{d}{d r} (\frac{d u}{d ξ}) = - \frac{1}{r^{2}} \frac{d u}{d ξ} + \frac{1}{r} \frac{d}{d ξ} (\frac{d u}{d ξ}) \cdot \frac{d ξ}{d r} =

= - \frac{1}{r^{2}} \frac{d u}{d ξ} + \frac{1}{r} \frac{d^{2} u}{d ξ^{2}} \cdot \frac{1}{r} = \frac{1}{r^{2}} (\frac{d^{2} u}{d ξ^{2}} - \frac{d u}{d ξ})

Theki aktiv_icon

15:24 Uhr, 09.06.2021

Das macht Sinn, vielen Dank!

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