Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Euler Substitution

Euler Substitution

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: euler, Integration, Subsitution

Patman95 aktiv_icon

18:38 Uhr, 06.05.2015

Hallo liebes Matheforum,

folgendes Integral soll gelöst werden:

\int \frac{d x}{\sqrt{a x^{2} + b x + c}}

Mit Quadratischer Ergänzung und zurückführen auf ein Stammintegral komme ich auf folgende LÖsung die laut Wolfram Alpha auch stimmt

: F (x) = \frac{1}{\sqrt{a}} \cdot ln (2 a x + b + 2 \sqrt{a} \sqrt{a x^{2} + b x + c}) + C

Ich wollte aber mal die Euler Substitution ausprobieren, hänge an einer stelle dann aber fest:

Ich habe mit der 1.Variante der Euler Substitution gerechnet mit folgendem Ansatz:

1.

\sqrt{a x^{2} + b x + c} = x \sqrt{a} + t

Nach

x

aufgelöst:

2.

x = \frac{c - t^{2}}{2 \sqrt{a} \cdot t - b}

Eingesetzt in die 1.

\frac{c - t^{2}}{2 \sqrt{a} \cdot t - b} \cdot \sqrt{a} + t

Auf einen Nenner gebracht:

\sqrt{a x^{2} + b x + c} = \frac{\sqrt{a} (c + t^{2}) - t b}{2 \sqrt{a} \cdot t - b}

Damit ist der Wurzelausdruck subtituiert.

Für

d x

bekomme ich nach Ableiten von

x

folgenen Ausdruck

\frac{d x}{d t} \frac{c - t^{2}}{2 \sqrt{a} \cdot t - b} = - 2 \frac{\sqrt{a} (t^{2} + c) - t b}{{(2 \sqrt{a} \cdot t - b)}^{2}}

Das ganze jetzt für

\frac{d x}{\sqrt{a x^{2} + b x + c}}

eingesetzt:

- 2 \frac{\sqrt{a} (t^{2} + c) - t b}{{(2 \sqrt{a} \cdot t - b)}^{2}} / (\frac{\sqrt{a} (c + t^{2}) - t b}{2 \sqrt{a} \cdot t - b}) d t

Es kürzt sich einiges so dass sich das subtituierte Integral so formulieren lässt:

- 2 \int \frac{1}{2 \sqrt{a} \cdot t - b} d t

Gelöst:

F (t) = - \frac{ln (2 \sqrt{a} \cdot t - b)}{\sqrt{a}} + C

Zürücksubstituert ergibt sich:

- \frac{ln (2 \sqrt{a} \cdot (\sqrt{a x^{2} + b x + c} - \sqrt{a} x) - b)}{\sqrt{a}} + C

Wie man sieht ist das Vorzeichen vor dem Integral und auch vor dem

b

und vor dem

\sqrt{a} x

Falsch

Ich vermute meinen Fehler irgenwo bei der Integration der substituerten Funktion; kann ihn aber nich finden!

Vielen Dank für die Hilfe :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Roman-22

02:38 Uhr, 07.05.2015

Die gute Nachricht zuerst: Du hast vollkommen richtig gerechnet und bis auf die Integrationskonstante ist dein Ergebnis ident mit dem eingangs angegebenen.

- \frac{1}{\sqrt{a}} \cdot ln (2 \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{a \cdot x^{2} + b \cdot x + c} - 2 \cdot a \cdot x - b) + K_{1} = \frac{1}{\sqrt{a}} \cdot ln (\frac{1}{2 \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{a \cdot x^{2} + b \cdot x + c} - (2 \cdot a \cdot x + b)}) + K_{1} =

= \frac{1}{\sqrt{a}} \cdot ln (\frac{2 \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{a \cdot x^{2} + b \cdot x + c} + (2 \cdot a \cdot x + b)}{4 \cdot a \cdot (a \cdot x^{2} + b \cdot x + c) - {(2 \cdot a \cdot x + b)}^{2}}) + K_{1} = \frac{1}{\sqrt{a}} \cdot ln (\frac{2 \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{a \cdot x^{2} + b \cdot x + c} + 2 \cdot a \cdot x + b}{4 \cdot a^{2} \cdot x^{2} + 4 \cdot a \cdot b \cdot x + 4 \cdot a \cdot c - 4 \cdot a^{2} \cdot x^{2} - 4 \cdot a \cdot b \cdot x - b^{2}}) + K_{1} =

= \frac{1}{\sqrt{a}} \cdot ln (\frac{2 \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{a \cdot x^{2} + b \cdot x + c} + 2 \cdot a \cdot x + b}{4 \cdot a \cdot c - b^{2}}) + K_{1} = \frac{1}{\sqrt{a}} \cdot ln (2 \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{a \cdot x^{2} + b \cdot x + c} + 2 \cdot a \cdot x + b) - \frac{1}{\sqrt{a}} \cdot ln (4 \cdot a \cdot c - b^{2}) + K_{1} =

= \frac{1}{\sqrt{a}} \cdot ln (2 \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{a \cdot x^{2} + b \cdot x + c} + 2 \cdot a \cdot x + b) + K_{2}

Patman95 aktiv_icon

09:10 Uhr, 08.05.2015

Vielen Dank !

1233234

1232797

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?