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Euler - de Moivre Identität

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Komplexe Zahlen

Tags: Funktion, Komplexe Zahlen

17Student20 aktiv_icon

01:17 Uhr, 22.10.2012

Also gute Nacht allerseits. Ich sitze gerade an folgender Aufgabe

a)

Ich soll mit der Euler-Identität

e^{i φ} = cos φ + i sin φ

folgende trigonometrische Identitäten beweisen.
Dazu soll ich die üblichen Rechenregeln der Exponentialfunktion verwenden

(i)

{cos}^{2} φ + {sin}^{2} φ = 1

(ii)

cos (φ 1 + φ 2) = cos φ 1 cos φ 2 - sin φ 1 sin φ 2

(iii)

sin (φ 1 + φ 2) = cos φ 1 sin φ 2 + sin φ 1 cos φ 2

Hinweis zu der

i)

Untersuchen sie

e^{i φ} e^{- i φ}

und nutzen Sie die Symmetrieeigenschaften des Sinus und Kosinus.

b)

Sin

φ

und

cos φ

sollen explizit durch die Exponentionfunktion mit imaginären Exponenten ausgedrückt werden

also zu der

a) i) e^{i φ} e^{- 1 φ} = e^{0} = 1

stimmt das ? Wie bringe ich die E-Funktion in den Beweis ein ???

zu der

b)

da ist ja

z = r (cos φ + i sin φ) = r e^{i φ}

mit

r = | z |

Betrag und

φ

das Argument der Zahl

z

mit

(φ =

arg (z)

)

cos z = \frac{1}{2} \cdot (e^{i z} + e^{- i z})

sin z = \frac{1}{2 i} \cdot (e^{i z} - e^{- i z})

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Mathe45

06:11 Uhr, 22.10.2012

z . B

cos (φ_{1} + φ_{2}) = \frac{1}{2} \cdot (e^{i \cdot (φ_{1} + φ_{2})} + e^{- i \cdot (φ_{1} + φ_{2})}) =

= \frac{1}{2} \cdot (e^{i \cdot φ_{1}} \cdot e^{i \cdot φ_{2}} + e^{- i \cdot φ_{1}} \cdot e^{- i \cdot φ_{2}}) =

= \frac{1}{4} \cdot (e^{i \cdot φ_{1}} \cdot e^{i \cdot φ_{2}} + e^{i \cdot φ_{1}} \cdot e^{i \cdot φ_{2}} + e^{- i \cdot φ_{1}} \cdot e^{- i \cdot φ_{2}} + e^{- i \cdot φ_{1}} \cdot e^{- i \cdot φ_{2}}) =

= \frac{1}{4} \cdot (e^{i \cdot φ_{1}} \cdot e^{i \cdot φ_{2}} + e^{- i \cdot φ_{1}} \cdot e^{i \cdot φ_{2}} + e^{i \cdot φ_{1}} \cdot e^{- i \cdot φ_{2}} + e^{- i \cdot φ_{1}} \cdot e^{- i \cdot φ_{2}} +

+ e^{i \cdot φ_{1}} \cdot e^{i \cdot φ_{2}} - e^{- i \cdot φ_{1}} \cdot e^{i \cdot φ_{2}} - e^{i \cdot φ_{1}} \cdot e^{- i \cdot φ_{2}} + e^{- i \cdot φ_{1}} \cdot e^{- i \cdot φ_{2}}) =

= \frac{1}{4} \cdot [(e^{i \cdot φ_{1}} + e^{- i \cdot φ_{1}}) \cdot (e^{i \cdot φ_{2}} + e^{- i \cdot φ_{2}}) + (e^{i \cdot φ_{1}} - e^{- i \cdot φ_{1}}) \cdot (e^{i \cdot φ_{2}} - e^{- i \cdot φ_{2}})] =

Einschub:

e^{i \cdot φ_{1}} + e^{- i \cdot φ_{1}} = 2 \cdot cos (φ_{1})

e^{i \cdot φ_{2}} + e^{- i \cdot φ_{2}} = 2 \cdot cos (φ_{2})

e^{i \cdot φ_{1}} - e^{- i \cdot φ_{1}} = 2 \cdot i \cdot sin (φ_{1})

e^{i \cdot φ_{2}} - e^{- i \cdot φ_{2}} = 2 \cdot i \cdot sin (φ_{2})

Weiterführung der Umformung:

= \frac{1}{4} [2 \cdot cos (φ_{1}) \cdot 2 \cdot cos (φ_{2}) + 2 \cdot i \cdot sin (φ_{1}) \cdot 2 \cdot i \cdot sin (φ_{2})] =

= \frac{1}{4} \cdot [4 \cdot cos (φ_{1}) \cdot cos (φ_{2}) - 4 \cdot sin (φ_{1}) \cdot sin (φ_{2})] = cos (φ_{1}) \cdot cos (φ_{2}) - sin (φ_{1}) \cdot sin (φ_{2})

Der "Trick" dabei: durch Hinzufügen und Wegnehmen von geeigneten Potenzprodukten, geeignetes Herausheben und Zusammenfassen ergibt sich das Gewünschte. Rechenfehler überprüfen.

Mathe45

06:17 Uhr, 22.10.2012

Die anderen Aufgabenstellungen analog.
Hinweis: um zu einem Beweis zu kommen, "zäumt man das Pferd manchmal vom Schwanz auf".

D . h

. man geht von dem zu Beweisenden aus und gelangt zum Ausgang ( hier

z . B

cos (φ_{1} + φ_{2}))

. Der tatsächliche Beweis wird dann in umgekehrter Reihenfolge geführt.
Ähnliche Gedankenführungen liefern auch den Differentialquotienten eine Produktes bzw. Quotienten.

17Student20 aktiv_icon

09:41 Uhr, 22.10.2012

Recht herzlichen Dank. Wie kommt denn diese

\frac{1}{4}

zustande und die Terme die dann dazukommen ?

Mathe45

10:43 Uhr, 22.10.2012

z . B

cos (φ_{1} + φ_{2}) = \frac{1}{2} \cdot (e^{i \cdot (φ_{1} + φ_{2})} + e^{- i \cdot (φ_{1} + φ_{2})}) =

= \frac{1}{2} \cdot (e^{i \cdot φ_{1}} \cdot e^{i \cdot φ_{2}} + e^{- i \cdot φ_{1}} \cdot e^{- i \cdot φ_{2}}) =

Verdoppelung dieser Summanden, daher statt

\frac{1}{2}

der Bruch

\frac{1}{4}

= \frac{1}{4} \cdot (e^{i \cdot φ_{1}} \cdot e^{i \cdot φ_{2}} + e^{i \cdot φ_{1}} \cdot e^{i \cdot φ_{2}} + e^{- i \cdot φ_{1}} \cdot e^{- i \cdot φ_{2}} + e^{- i \cdot φ_{1}} \cdot e^{- i \cdot φ_{2}}) =

Der Term

[e^{- i \cdot φ_{1}} \cdot e^{i \cdot φ_{2}} + e^{i \cdot φ_{1}} \cdot e^{- i \cdot φ_{2}}

]

wird hinzugefügt und danach wieder subtrahiert. Dadurch ergibt sich "de facto" keine Änderung.

= \frac{1}{4} \cdot (e^{i \cdot φ_{1}} \cdot e^{i \cdot φ_{2}} + e^{- i \cdot φ_{1}} \cdot e^{i \cdot φ_{2}} + e^{i \cdot φ_{1}} \cdot e^{- i \cdot φ_{2}} + e^{- i \cdot φ_{1}} \cdot e^{- i \cdot φ_{2}} +

+ e^{i \cdot φ_{1}} \cdot e^{i \cdot φ_{2}} - e^{- i \cdot φ_{1}} \cdot e^{i \cdot φ_{2}} - e^{i \cdot φ_{1}} \cdot e^{- i \cdot φ_{2}} + e^{- i \cdot φ_{1}} \cdot e^{- i \cdot φ_{2}}) =

Dadurch ergeben sich GENAU die Teilprodukte, die bei den unten stehenden Klammermultiplikationen auftreten.

= \frac{1}{4} \cdot [(e^{i \cdot φ_{1}} + e^{- i \cdot φ_{1}}) \cdot (e^{i \cdot φ_{2}} + e^{- i \cdot φ_{2}}) + (e^{i \cdot φ_{1}} - e^{- i \cdot φ_{1}}) \cdot (e^{i \cdot φ_{2}} - e^{- i \cdot φ_{2}})] =

Einschub: Folgende Terme entstehen durch Umformen der Identität

e^{i \cdot φ_{1}} + e^{- i \cdot φ_{1}} = 2 \cdot cos (φ_{1})

e^{i \cdot φ_{2}} + e^{- i \cdot φ_{2}} = 2 \cdot cos (φ_{2})

e^{i \cdot φ_{1}} - e^{- i \cdot φ_{1}} = 2 \cdot i \cdot sin (φ_{1})

e^{i \cdot φ_{2}} - e^{- i \cdot φ_{2}} = 2 \cdot i \cdot sin (φ_{2})

Weiterführung der Umformung: Die jeweiligen Exponentialdarstellungen durch die trigonometrischen Entsprechungen ersetzen.

= \frac{1}{4} [2 \cdot cos (φ_{1}) \cdot 2 \cdot cos (φ_{2}) + 2 \cdot i \cdot sin (φ_{1}) \cdot 2 \cdot i \cdot sin (φ_{2})] =

= \frac{1}{4} \cdot [4 \cdot cos (φ_{1}) \cdot cos (φ_{2}) - 4 \cdot sin (φ_{1}) \cdot sin (φ_{2})] = cos (φ_{1}) \cdot cos (φ_{2}) - sin (φ_{1}) \cdot sin (φ_{2})

Der "Trick" dabei: durch Hinzufügen und Wegnehmen von geeigneten Potenzprodukten, geeignetes Herausheben und Zusammenfassen ergibt sich das Gewünschte. Rechenfehler überprüfen.
Es gibt eine Reihe von anderen Beweismöglichkeiten, dieser Beweis stützt sich ausschließlich auf auf "Identität" und "Potenzregeln".
Andere Beweise

z . B

. mit Reihenentwicklung.

17Student20 aktiv_icon

10:46 Uhr, 22.10.2012

okay danke leuchtet jetzt ein und was ist jetzt mit der

b

sin φ

und

cos φ

explizit durch die Exponentialfunktion mit imaginären Exponenen auszudrücken ??? habe ich doch getan oder ?

Mathe45

10:49 Uhr, 22.10.2012

Ja, das explizite Ausdrücken ist richtig.

Mathe45

10:56 Uhr, 22.10.2012

Ausständig sind

i)

und iii)

i)

Einfach die Exponentialdarstellung über Euler verwenden, quadrieren und addieren. Durch

e^{i \cdot φ} \cdot e^{- i \cdot φ} = e^{i \cdot φ - i \cdot φ} = e^{0} = 1

reduziert sich alles beträchtlich und es bleibt nur mehr 1 übrig.
iii) ist Schlachtfeld nach vorangegangener Methode. Setzt man allerdings die erste Summenformel schon als bewiesen voraus, dann läßt sich nur über trigonometrische Eigenschaften der Summensatz für sin nachweisen

17Student20 aktiv_icon

10:58 Uhr, 22.10.2012

Okay dankeschöööööön mache mich jetzt an den Rest.

17Student20 aktiv_icon

12:17 Uhr, 22.10.2012

bin gerade hängen geblieben an folgendem Punkt:

- e^{- i φ} \cdot - e^{- i φ}

das ist das letzte Stück der Binomischen Formel

{(a - b)}^{2}

müsste

der letzte Term

+ b^{2}

herauskommen

- e^{- 2} i φ

oder ???

17Student20 aktiv_icon

12:36 Uhr, 22.10.2012

bin jetzt bis zu folgender Stelle gekommen:

\frac{1}{4} (e^{2 i φ} + 2 e^{0} + e^{- 2 i φ}) + \frac{1}{4 i^{2}} (e^{2 i φ} - 2 e^{0} - e^{- 2 i φ})

so das ist dann

\frac{1}{4} e^{2 i φ} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} e^{- 2 i φ} - \frac{1}{4} e^{2 i φ} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} e^{- 2 i φ}

joa und nun

\frac{1}{4} e^{2 i φ} + \frac{1}{4} e^{- 2 i φ} - \frac{1}{4} e^{2 i φ} + \frac{1}{4} e^{- 2 i φ}

da muss ein Plus hin anstatt dem Minus nur wo habe ich mich verrechnet, weil

4 \cdot \frac{1}{4} e^{0} = 1

17Student20 aktiv_icon

12:49 Uhr, 22.10.2012

- e^{- i φ} \cdot - e^{- i φ}

das ist das letzte Stück der Binomischen Formel

{(a - b)}^{2}

müsste

der letzte Term

+ b^{2}

herauskommen

somit muss

+ e^{- 2 i φ}

oder ???

Mathe45

13:18 Uhr, 22.10.2012

Welche Aufgabe ist jetzt überhaupt dran?

17Student20 aktiv_icon

13:19 Uhr, 22.10.2012

schon okay hat sich erledigt ich hab's raus danke^^

17Student20 aktiv_icon

13:19 Uhr, 22.10.2012

schon okay hat sich erledigt ich hab's raus danke^^

17Student20 aktiv_icon

13:47 Uhr, 22.10.2012

bei iii ) habe ich jetzt einen Term über 3 Zeilen stehen und weiß nicht wie ich den vereinfachen/zusammenfassen soll

: (

mit der Summenformel ??? wurde mir angeboten ???

weil eingesetzt in

cos φ 1 sin φ 2 + sin φ 1 cos φ 2

sind die Exponenten verschieden und lassen sich nicht vereinfachen jedenfalls seh ich das nicht

: (

Mathe45

13:48 Uhr, 22.10.2012

Das klingt eher vage.
Was steht dort?

17Student20 aktiv_icon

14:06 Uhr, 22.10.2012

puh

also in

sin (φ 1 + φ 2) = cos φ 1 \cdot sin φ 2 + sin φ 1 \cdot cos φ 2

eingesetzt

= \frac{1}{2} (e^{i φ 1} + e^{- i φ 1}) \cdot \frac{1}{2 i} (e^{i φ 2} - (e^{- i φ 2}) + \frac{1}{2 i} (e^{i φ 1} - e^{- i φ 1}) \cdot \frac{1}{2} (e^{i φ 2} + e^{- i φ 2})

so habe ich das eingesetzt

dann habe ich das

\frac{1}{2}

und das

\frac{1}{2 i}

nach vorne geschrieben

\frac{1}{4 i} (e^{i φ 1} + e^{- i φ 1}) \cdot (e^{i φ 2} - (e^{- i φ 2}) + \frac{1}{4 i} (e^{i φ 1} - e^{- i φ 1}) \cdot (e^{i φ 2} + e^{- i φ 2})

und das habe ich dann ausmultipliziert und naja komme da irgendwie nicht weiter

Mathe45

14:20 Uhr, 22.10.2012

Du sollst also ein

A = B

beweisen.
Generell gibt es zwei Möglichkeiten
Du beginnst bei A

A \Rightarrow ... \Rightarrow ... \Rightarrow ... \Rightarrow B

oder

B \Rightarrow ... \Rightarrow ... \Rightarrow . .

.
bewiesen soll werden

sin (φ_{1} + φ_{2}) = sin (φ_{1}) \cdot cos (φ_{2}) + cos (φ_{1}) \cdot sin (φ_{2})

Wenn du von links nach rechts beweisen sollst, dann musst du so umformen, dass die Elemente auftauchen, die bei der Ausrechnung der rechten Seite vorkommen.
Also rechte Seite ausrechnen und dann schauen, wie komme ich dort hin.
Du kannst aber auch von rechts nach links beweisen.
Rechte Seite ausrechnen und so lange umformen, bis sich die linke Seite ergibt.
Nachdem der Formeleditor hier sehr menschenfeindlich ist, werde ich das jetzt nicht mehr eingeben, ich bin aber sicher, dass genau dieser beweis irgendwo im WWW existiert.
Du hast ja schon bewiesen, dass

{sin}^{2} (φ) + {cos}^{2} (φ) = 1

.
Also ist

sin (φ) = \sqrt{1 - {cos}^{2} (φ)}

sin (φ_{1} + φ_{2}) = \sqrt{1 - {cos}^{2} (φ_{1} + φ_{2})}

Für den Ausdruck unter der Wurzel wurde der beweis schon erbracht und du darfst die Formel verwenden.
Umformen - geht verhältnismäßig leicht - und fertig.

17Student20 aktiv_icon

14:39 Uhr, 22.10.2012