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Eulersche Differentialgleichung

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

nky11 aktiv_icon

17:45 Uhr, 25.01.2010

a)

Seien

a 0, a 1 e R

. Zeigen Sie dass die Eulersche DGL

x^{2} y'' + a 1 x y' + a 0 y = 0

für

x > o

mittels der Substitution

x = e^{u}

bzw.

u = ln x

in eine Dgl mit konstanten Koeffizienten umgeformt werden kann.

b)

Lösen Sie mit Hilfe des Ergebnisses aus Teil

a)

das AWP

x^{2} y'' - x y' + y = 0

y (1) = - 1, y' (1) = 1

DANKE!!

nky11 aktiv_icon

18:35 Uhr, 25.01.2010

bitte hilft mir....

JensW aktiv_icon

20:23 Uhr, 25.01.2010

1)Definiere die Funktion W als

w (u) = y (x) = y (e^{u})

Kettenregel ableiten nach u

\frac{d w}{d u} = e^{u} \frac{d y}{d x} (e^{u}) = x y `

Weils so schoen war nochmal

\frac{d^{2} w}{d u^{2}} = e^{u} e^{u} \frac{d^{2} y}{d x^{2}} (e^{u}) + e^{u} \frac{d y}{d x} (e^{u}) = x^{2} y ` ` + x y `

Also ist die Gleichung

x^{2} y ` ` + a_{0} x y ` + a_{1} y = 0

\frac{d^{2} w}{d u^{2}} - x y ` + a_{0} x y ` + a_{1} y = 0

\frac{d^{2} w}{d u^{2}} + (a_{0} - 1) \frac{d w}{d u} + a_{1} w (u) = 0

Und das ist eine lineare Differentialgleichung zweiten Grades mit konstanten Koeffizienten in w

b)
Offensichtlich ist a0=-1 und a2=1
Damit ist die DGL in derunter Form

\frac{d^{2} w}{d u^{2}} - 2 \frac{d w}{d u} + w (u) = 0

Die Loest man mit dem Ansatz

w = e^{k u}

Das gibt die Gleichung

k^{2} - 2 k + 1 = 0

Also die Loesung k =1 zweimal

Damit ist die allgemeine Loesung

w = A e^{u} + B u e^{u}

Anfangswerte

y(1)=-1

x = e^{u}

also w(0)=-1

w = A e^{0} + B 0 e^{0} = A = - 1

y'(1)=1

\frac{d w}{d u} = e^{u} \frac{d y}{d x} (e^{u}) = x y `

also

\frac{d w}{d u} (0) = 1 (- 1) = - 1

d w / d u (0) = A e^{0} + B 0 e^{0} + B e^{0} = A + B = 1

B=2

w = - e^{u} + 2 u e^{u}

also y=-x+2x ln x

nky11 aktiv_icon

20:42 Uhr, 25.01.2010

Danke aber das mit dem AWP hab ich nicht so ganz verstanden.

JensW aktiv_icon

12:36 Uhr, 26.01.2010

"Danke aber das mit dem AWP hab ich nicht so ganz verstanden."

Was hast du nicht verstanden?

1)Die Erstellung der algemeinen Loesung

2Das Einsetzen der Anfangswerte

nky11 aktiv_icon

22:49 Uhr, 26.01.2010

das einsetzen der Werte und die definition ganz am Anfang ist die allgemein kann ich die immer nehmen?
Danke

JensW aktiv_icon

20:38 Uhr, 27.01.2010

Die Definition?

w (u) = y (x)

das ist die allgemien substitutionstechnik

Das interesante ist dabei wirklich nur der zusammenhang zwsichen u und x

x = e^{u}

Das steht in der Aufganbenstellung das du das benutzen sollst...

Oder vielleich den Loesungsansatz?
Den kan man immmer bei linearne differntialgleichungen mit konstanten koeffizenten benutzen.

AWP
Um aus der algeminen Loesung eine Loesung des AAWP zu machen muss man A und B bestimmen
Dazu brauch man zwei gleichungen diese sind durch die Anfangswerte gegeben

der erste ist

y(1)=-1

y (x) = y (e^{u}) = w (u)

also
-1 =y(1)=y(e^0)=w(0)

und genauso kann man aus der Formel

\frac{d w}{d u} (u) = x y ʹ

\frac{d w}{d u} (0) = e^{0} y ` (e^{0}) = 1

berechen

Diese werte kann man jeweils in die allgemeien Loesung einsetzte udn so A und B bestimmen..

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