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Eulersche Formel

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Euler`sche Formel, Komplexe Zahlen

bboymaxim aktiv_icon

23:01 Uhr, 08.11.2015

Ich kenne die Eulersche Formel und ich kenne mich mit den komplexen Zahlen aus. Allerdings finde ich keinen Ansatz für die folgende Aufgabe. Hat jemand einen Tipp?

Danke im Vorraus

Zeigen Sie mit Hilfe der Eulerschen Formel:

sin (α + β) = sin α \cdot cos β + cos α \cdot sin β

für

α, β \in ℝ

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Mitternachtsformel

ledum aktiv_icon

23:11 Uhr, 08.11.2015

Hallo
wie schreibst du sin als komplexe Fkt? oder

e^{i \cdot x}

als sin und cos?
Gruss ledum

bboymaxim aktiv_icon

23:45 Uhr, 08.11.2015

danke für die schnelle Antwort

bei einer komplexen Zahl

c = a + i \cdot b

wäre

b = | c | \cdot sin φ

und

e^{i \cdot x} = cos x + i \cdot sin x

wolltest du darauf hinaus?

so richtig hilft mir das nicht weiter.

Nikno aktiv_icon

23:50 Uhr, 08.11.2015

ledum wollte dir ein Tipp in die Richtung geben, wie man

s i n (x)

und

c o s (x)

anders mittels der imaginären Einheit und der e-Funktion ausdrücken kann.

s i n (x) = \frac{e^{i x} - e^{- i x}}{2 i}

c o s (x) = \frac{e^{i x} + e^{- i x}}{2}

Respon

00:00 Uhr, 09.11.2015

e^{i \cdot (x + y)} = cos (x + y) + i \cdot sin (x + y)

Aber auch

e^{i \cdot (x + y)} = e^{i \cdot x} \cdot e^{i \cdot y} =

= (cos (x) + i \cdot sin (x)) \cdot (cos (y) + i \cdot sin (y)) =

= [cos (x) \cdot cos (y) - sin (x) \cdot sin (y)] + i \cdot [sin (x) \cdot cos (y) + cos (x) \cdot sin (y)]

Und jetzt vergleiche Real- und Imaginärteil.

bboymaxim aktiv_icon

00:19 Uhr, 09.11.2015

vielen Dank für die Antworten! ich kann die Schritte nachvollziehen und es hat mir sehr weitergeholfen!

Mir fällt auf, dass die letzte Zeile, die du geschrieben hast, viele Gemeinsamkeiten mit der in der Aufgabe vorgegebenen Gleichung hat. Ich verstehe nur leider nicht genau was wirklich Ziel dieser Aufgabe ist und wie ich eure Schritte auf diese anwenden kann.

Wenn ich Real- und Imaginärteil vergleiche, fällt mir auf, dass im Realteil ein - und im Imaginärteil ein

+

ist.

wie gehts jetzt weiter?

Respon

00:24 Uhr, 09.11.2015

e^{i \cdot (x + y)}

wurde auf zweifache Art mit der Eulerschen Formel dargestellt

e^{i \cdot (x + y)} = cos (x + y) + i \cdot sin (x + y)

e^{i \cdot (x + y)} = [cos (x) \cdot cos (y) - sin (x) \cdot sin (y)] + i \cdot [sin (x) \cdot cos (y) + cos (x) \cdot sin (y)]

\Rightarrow

cos (x + y) = cos (x) \cdot cos (y) - sin (x) \cdot sin (y)

sin (x + y) = sin (x) \cdot cos (y) + cos (x) \cdot sin (y)

bboymaxim aktiv_icon

00:29 Uhr, 09.11.2015

Achso!!! Natürlich!!! Jetzt hab ichs!

Vielen vielen Dank nochmal :-)

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