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Eulersche Substitution

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: eulersche Substitution, Integration

heraklion aktiv_icon

21:37 Uhr, 13.10.2011

Hallo Forum,
ich habe Problem mit einer Aufgabe der Integralrechnung und kann nicht irgendwie weitergehen...

\int (\frac{1}{\sqrt{2 - 3 x^{2}}}) d x

ich weiß,dass man bei dieser Art der Integralaufgaben die Euler-Substitution verwenden soll,besser gesagt, ich soll

\sqrt{2 - 3 x^{2}} = x - t

machen..
aber funktioniert hier irgenwie nicht!!

kann jemand mir helfen?

CKims aktiv_icon

02:39 Uhr, 15.10.2011

nach der eulerschen integration musst du so substituieren (koeffizient vor

x^{2}

negativ)

\sqrt{2 - 3 x^{2}} = x t - \sqrt{2}

2 - 3 x^{2} = {(x t - \sqrt{2})}^{2}

2 - 3 x^{2} = x^{2} t^{2} - 2 \sqrt{2} x t + 2

- 3 x = x t^{2} - 2 \sqrt{2} t

2 \sqrt{2} t = x t^{2} + 3 x

2 \sqrt{2} t = x (t^{2} + 3)

\frac{2 \sqrt{2} t}{t^{2} + 3} = x

damit ist

\sqrt{2 - 3 x^{2}} = x t - \sqrt{2} = \frac{2 \sqrt{2} t}{t^{2} + 3} t - \sqrt{2} = \frac{2 \sqrt{2} t^{2}}{t^{2} + 3} - \frac{\sqrt{2} (t^{2} + 3)}{t^{2} + 3} = \frac{2 \sqrt{2} t^{2} - \sqrt{2} t^{2} - 3 \sqrt{2}}{t^{2} + 3} = \frac{\sqrt{2} (t^{2} - 3)}{t^{2} + 3}

das koennen wir nun nutzen um hier zu substituieren

\int \frac{1}{\sqrt{2 - 3 x^{2}}} d x

\int \frac{1}{\frac{\sqrt{2} (t^{2} - 3)}{t^{2} + 3}} d x

und um das

d x

zu ersetzen leiten wir noch ab

\frac{d x}{d t} = (\frac{2 \sqrt{2} t}{t^{2} + 3})'

\frac{d x}{d t} = \frac{(2 \sqrt{2} (t^{2} + 3) - 2 \sqrt{2} t \cdot 2 t)}{{(t^{2} + 3)}^{2}}

\frac{d x}{d t} = \frac{2 \sqrt{2} t^{2} + 6 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} t^{2}}{{(t^{2} + 3)}^{2}}

\frac{d x}{d t} = \frac{6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} t^{2}}{{(t^{2} + 3)}^{2}}

d x = - \frac{2 \sqrt{2} (t^{2} - 3)}{{(t^{2} + 3)}^{2}} d t

damit also das

d x

im integral ersetzen ergibt

\int \frac{1}{\frac{\sqrt{2} (t^{2} - 3)}{t^{2} + 3}} \cdot (- \frac{2 \sqrt{2} (t^{2} - 3)}{{(t^{2} + 3)}^{2}}) d t

- \int \frac{t^{2} + 3}{\sqrt{2} (t^{2} - 3)} \frac{2 \sqrt{2} (t^{2} - 3)}{{(t^{2} + 3)}^{2}} d t

- \int \frac{2}{t^{2} + 3} d t

und jetzt integrieren... (hoffe ich hab keine rechenfehler drin... eulersche subst. ist fuer mich premiere)

lg

michaL aktiv_icon

11:08 Uhr, 15.10.2011

Hallo,

@MokLok: Kann nicht sagen, ob das richtig ist. Ich habe es nicht nachgerechnet. Es wäre auch für das erste Mal, überhaupt eine eulersche Substitution anzuwenden (kannte das vorher auch gar nicht).

@alle: Ich würde das aber auch so nicht machen. Ich erkenne im Integranden fast den Term

\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} = (\arcsin (x)) ʹ

wieder. Man muss den vorhandenen Integranden doch nur dahin umformen, was mit einer linearen Substitution (und der Anwendung von Wurzelgesetzen) sehr gut und knapp funktioniert:

\frac{1}{\sqrt{2 - 3 x^{2}}} d x = \frac{1}{\sqrt{2 - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} x)}^{2}}} d x = \frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} x)}^{2}}} d x

Also hilft

z := \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} x

Mfg Michael

heraklion aktiv_icon

20:13 Uhr, 15.10.2011

Hallo und danke für Ihre Hilfe,

@ Michael..Kannst du mir bitte sagen,wie du auf

z : \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot x

gekommen bist.
wenn es dafür eine Tabelle oder methede sowie eine Webseite gibt,kannst du mir bitte sagen oder erklären.das ist ganz neu für mich.

@Moklok:ehrlich gesagt,die einzige eulersche Substitution,die ich kenn in nur im Form

\sqrt{a x^{2} + b x + c} = x - t

.
Wie hast du das verstanden,da koeffizient negativ ist,soll man

x^{2}

verwenden ?
wenn du mir erklären könntest,wäre ich sehr dankbar.

CKims aktiv_icon

20:18 Uhr, 15.10.2011

ich mach das auch zum ersten mal...

ich hab gegoogelt und unter eulerschen substitution das hier gefunden

http//planetmath.org/encyclopedia/EulersSubstitutionsForIntegration.html

da steht, dass man deine substitution nur nehmen kann, wenn der koeffizient vor dem

x^{2}

groesser null ist. anscheinend geht nur dann die substitution so auf, dass das integral vereinfacht wird... (aber wie schon gesagt... hab mich auch nur an die anleitung gehalten)

lg

(studierst du im ausland? die machen da anscheinend ganz tolle sachen;-)

michaL aktiv_icon

21:14 Uhr, 15.10.2011

Hallo,

@heraklion:
Wie man darauf kommt, hab ich doch beschrieben.
Hast du meine Umformungen verstanden, die deinen Integranden in Richtung

\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

bringen soll?
Wenn ja, dann ist diese Substitution eben nur der letzte Schritt dahin: von

\frac{1}{\sqrt{1 - (k x)^{2}}}

\frac{1}{\sqrt{1 - z^{2}}}

per

z := k x

Mfg Michael

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