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Eulersche Zahl mit Exponent integrieren

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: euler, eulersche, Exponent, Integration, integrieren, Reelle Zahlen, Zahl

wuselman aktiv_icon

23:37 Uhr, 10.05.2010

Schönen Abend,

bin nun ganz neu hier, da ich auf der suche nach einer Problemlösung bin. Ich habe ein unbestimmtes Integral das ich berechnen möchte. Es lautet:

\int x^{2} \cdot e^{- x} \cdot d x

So nun stoße zumindest ich auf ein Problem. Wenn ich

e^{- x}

ableiten will weis ich wirklich nicht was rauskommt. Im Sinne von wenn

u (x) = e^{- x}

ist, was ist dann

u' (x)

? Außerdem würde es mich interessieren, was den das integral von

e^{- x}

ist, also im sinne von wenn

v' (x) = e^{- x}

ist, was ist dann

v (x)

?

Danke im Vorraus! :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Potenzfunktionen - Einführung

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23:39 Uhr, 10.05.2010

Lösung durch partielle Integration.

wuselman aktiv_icon

23:42 Uhr, 10.05.2010

Ja, ich meine so heißt das Verfahren das ich zu Berechnung anwenden will, nur fehlt mir halt das Wissen aus meiner Frage :-) Kennst du die Lösung zu meinem Beitrag? also nicht zur ganzen Formel, sondern das

e

spezifische.

mein derzeitiger ansatz ist:

\int x^{2} \cdot e^{- x} \cdot d x

u (x) = e^{- x}

u' (x) =

???

v' (x) = x^{2}

v (x) = \frac{x^{3}}{3}

also:

\int x^{2} e^{- x} d x = e^{- x} \cdot \frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \int

???

\cdot x^{3} \cdot d x

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23:44 Uhr, 10.05.2010

e^{- x}

integriert ergibt

- 1 \cdot e^{- x}

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23:45 Uhr, 10.05.2010

e^{- x}

abgeleitet ergibt

- 1 \cdot e^{- x}

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23:50 Uhr, 10.05.2010

x^{2} \cdot (- 1) \cdot e^{- x} -

Integral

(2 x \cdot (- 1) \cdot e^{- x}

wuselman aktiv_icon

00:13 Uhr, 11.05.2010

Ok, du hast die

u (x)

und

v' (x)

anders als ich gewählt. Ich nehme mal dein Beispiel. Habs mal nachgerechnet:

\int x^{2} \cdot e^{- x} \cdot d x

u (x) = x^{2}

u' (x) = 2 x

v' (x) = e^{- x}

v (x) = - e^{- x}

also:

\int x^{2} \cdot e^{- x} \cdot d x = x^{2} \cdot - e^{- x} - \int 2 x \cdot - e^{- x} \cdot d x

Gut das schaut genauso aus. Ich hab direkt weitergerechnet:

u (x) = 2 x

u' (x) = 2

v' (x) = - e^{- x}

v (x) =

ehm, ok es ist spät ich tippe mal auf

\int (- 1) \cdot e^{- x} \Rightarrow e^{- x}

also:

\int x^{2} \cdot e^{- x} \cdot d x = x^{2} \cdot - e^{- x} - \int 2 x \cdot - e^{- x} \cdot d x = x^{2} \cdot - e^{- x} - 2 x \cdot e^{- x} - 2 \int e^{- x} \cdot d x

soweit in Ordnung?

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00:20 Uhr, 11.05.2010

ok soweit

wuselman aktiv_icon

00:30 Uhr, 11.05.2010

Wunderbar!

wenn also

\int x^{2} \cdot e^{- x} \cdot d x = x^{2} \cdot - e^{- x} - 2 x \cdot e^{- x} - 2 \int e^{- x} \cdot d x

ist, so rechne ich wie folgt weiter:

= x^{2} \cdot - e^{- x} - 2 x \cdot e^{- x} - 2 \cdot - e^{- x} + C

= - e^{- x} (x^{2} + 2 x - 2) + C

fertig! Korrekt?

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00:37 Uhr, 11.05.2010

Sieht gut aus, müsste dann beim ableiten ja wieder

x^{2} \cdot e^{- x}

ergeben.

wuselman aktiv_icon

00:52 Uhr, 11.05.2010

Hm, da komm ich nun ins grübeln :-) Kling logisch, integrieren ist ja sozusagen das gegenteil vom Ableiten. Deswegen müssste das auch klappen ich probiers einfach mal:

Zu prüfen wäre dann ja:

wenn:

f (x) = - e^{- x} \cdot (x^{2} + 2 x - 2)

dass

f' (x) = x^{2} \cdot e^{- x}

ist.

- e^{- x}

abgeleitet ist ja

e^{- x}

und ehm der rest, ok es wird immer später... :-)
Ich glaube ich vergesse was. Wie prüfe ich das geanu? Ich habe den zweiten Term also

(x^{2} + 2 x - 2)

mit Wolfram Alpha abgeleitet und da kommt irgendwie nicht

x^{2}

raus

Punker64 aktiv_icon

01:01 Uhr, 11.05.2010

Am Ende muss es

+ 2

heissen denn

- 2

*Integral

(e^{- x}) = - e^{- x} (x^{2} + 2 x + 2)

oder

e^{- x} \cdot (- x^{2} - 2 x - 2)

wuselman aktiv_icon

01:12 Uhr, 11.05.2010

wie hast du das gemacht? oO

also ich habe gerechnet:

(x^{2} \cdot - e^{- x}) - (2 x \cdot e^{- x}) - 2 \int e^{- x} \cdot d x

= (x^{2} \cdot - e^{- x}) - (2 x \cdot e^{- x}) - (2 \cdot - e^{- x}) + C

so, dann

- e^{- x}

ausklammern:

= - e^{- x} (x^{2} + 2 x - 2) + C

Also abgeleitet über Wolfrahm Alpha "derivative(-e^-x(x^2+2x+2))" ist die alternate form

e^{- x} \cdot x^{2}

was ich ja haben möchte...

Irgendwo mache ich einen Fehler.

Punker64 aktiv_icon

01:17 Uhr, 11.05.2010

... - 2

Integral

(e^{- x})

= - 2 ((- 1) \cdot e^{- x}

)deshalb

+ 2

wuselman aktiv_icon

01:30 Uhr, 11.05.2010

Ehm, irgendwie will das so nicht. Ich bekomme jedesmal die

- 2

. Wolfrahm Alpha sagt

x^{2} \cdot - e^{- x} - 2 x \cdot e^{- x} - 2 ((- 1) e^{- x}) = - e^{- x} (x^{2} + 2 x - 2)

oder

e^{- x} (2 - x (x + 2))

.
Gut,

- e^{- x} (x^{2} + 2 x + 2)

ergibt aber abgeleitet genau

e^{- x} \cdot x^{2}

was ja auch genau so sein soll.
Das heißt ich habe irgendwo vorher was kaputtgemacht. Klingt zumindest logisch.

Punker64 aktiv_icon

01:36 Uhr, 11.05.2010

ausführlich:

x^{2} \cdot e^{- x} = (x^{2} \cdot - e^{- x}) - (2 x \cdot e^{- x}) - (2 \cdot - e^{- x})

(- x^{2} \cdot e^{- x}) - (2 x \cdot e^{- x}) + (2 \cdot e^{- x})

= e^{- x} (- x^{2} - 2 x - 2)

oder

- e^{- x} (x^{2} + 2 x + 2)

wuselman aktiv_icon

01:46 Uhr, 11.05.2010

Ok, ich leg mich nun erstmal hin. Will mir grad nicht in den Kopf diese Minusgeschichte.
Morgen in alter frische! :-) Danke erstmal bis hierhin und gute Nacht!

wuselman aktiv_icon

16:39 Uhr, 17.06.2010

Hm, allso ich habs verstanden :-) Sorry das ich erst so spät zurück bin.

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