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Exakte Dgls Reihenfolge der Ableitungen merken?

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: exakte Dgl, Gewöhnliche Differentialgleichungen

tommy40629 aktiv_icon

08:58 Uhr, 27.06.2013

Hi,

bei den exakten Dgls muss man ja am Anfang prüfen, ob überhaupt eine exakte Dgl vorliegt.

Ich habe im Bild unten beschrieben, warum ich nicht verstehe, warum erst nach y und dann nach x abgeleitet wird.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

11:12 Uhr, 27.06.2013

Hallo,

wie habt Ihr denn "exakte Differentialgleichung" definiert? Oder wie löst man eine exakte Differentialgleichung?

Gruß pwm

Atlantik aktiv_icon

12:28 Uhr, 27.06.2013

Vielleicht helfen dir die Links weiter:

http://www.math.tugraz.at/~ganster/lv_analysis_2/14_exakte_diffgl.pdf

http//www.mathepedia.de/Exakte_Differentialgleichungen.aspx

Wenn

d x

dahintersteht, muss

m . E

. auch nach

x

abgeleitet werden.

mfG

Atlantik

michaL aktiv_icon

12:49 Uhr, 27.06.2013

Hallo,

@Atlantik:
> Wenn dx dahintersteht, muss m.E. auch nach x abgeleitet werden.
Nein.
Es geht ja um die Anwendung des Satzes von Schwartz, der garantiert, dass man die Reihenfolge zweier verschiedener Ableitungen unter gewissen Voraussetzungen vertauschen kann.
Wenn man das kann, gibt es eine (gemeinsame) Potentialfunktion zu den beiden (dann als) partiellen Ableitungen (anzusehenden) Funktionen.

Du musst das ganze mal von dieser Potentialfunktion aus sehen, deren totales Differential bilden und erkennen, dass dieses dann die DGL ist.

Der OP hat ja

(2 x^{3} - x y^{2}) d x + (2 y^{3} - x^{2} y) d y = 0

.

Betrachte doch mal

F (x, y) := \frac{1}{2} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + \frac{1}{2} y^{4}

.

Deren totales Differential lautet

d F (x, y) = (2 x^{3} - x y^{2}) d x + (2 y^{3} - x^{2} y) d y

.

Mfg Michael

tommy40629 aktiv_icon

14:13 Uhr, 28.06.2013

Den Satz von Schwarz kenne ich, wenn man f(x,y) hat und leiten nun nach

\frac{d f}{d x d y}

ab und dann nach

\frac{d f}{d y d x}

ab, dann sind beide Ableitungen gleich und es ist egal, in welcher Reihenfolge man ableitet.

Diese Dgl- Klausur wird eine reine Rechenklausur.
Ich kann mir spätestens jetzt merken, wie ich ableiten muss, wenn dx oder dy hinter dem Ausdruck steht.

Ich werde einfach am Mittwoch den Prof fragen.

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