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Exaktheit einer DGL - Nutzen

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Exaktheit, Gewöhnliche Differentialgleichungen, Potential

Malbersa aktiv_icon

20:25 Uhr, 22.08.2019

Hallo,

ich wollte mal ganz konkret fragen, warum man eine DGL auf Exaktheit prüft?

Ich kann mittlerweile auf Exaktheit prüfen und mittels integrierendem Faktor Exaktheit herstellen. Auch lässt sich die DGL so lösen. Das ist also nicht das Problem, nur warum man Exaktheit als Kriterium nutzt und was es praktisch über den Sachverhalt aussagt erschließt sich mir noch nicht ganz.

Außerdem interessiert mich, warum man die DGL (bei Exaktheit; oder auch nachdem man über einen integrierenden Faktor Exaktheit hergestellt hat) über das Potential löst. Die DGL:

1 + \frac{2}{y^{'}} = 0

zum Beispiel kann ich doch auch einfach durch Trennung der Variablen lösen. Ich habe schon gemerkt, dass manche DGLs über den Weg des Potentials einfacher zu lösen sind.

Meine Überlegungen hierzu sind bisher:
- Nicht-Exakte DGL's lassen sich

i . d . R

. nicht oder sehr schwer über gängige Methoden lösen
- Manche DGL's lassen sich besser über das Potential lösen.

Aber vielleicht hat ja noch jemand Erfahrungswerte bzgl. der Anwendung, die etwas mehr Klarheit geben?

Zusatz:
Habe zB mal versucht:

\frac{y}{x^{2}} +

((2xy-1)/x)

y' = 0

mit Trennung der Variablen zu lösen.

Ich komme bis:

y (\frac{1}{x^{2}} + 2 \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{x} \frac{d y}{d x}

und dann nirgendwo mehr hin. Lässt sich diese DGL überhaupt über die Trennung der Variablen lösen?

(Mal nebenbei gefragt: Gibt es hier im Forum die Möglichkeit, unsichtbare Klammern zu schreiben?)

Danke und bis dann!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

16:25 Uhr, 23.08.2019

Hallo
nur sehr einfache Dgl lassen sich mit Trennung der Variablen lösen.
dein 1. Bsp. ist ja einfach

y' = - 2

also gar keine richtige Dgl. dein 2. Bsp kann man nicht mit Trennung der Variablen lösen.
Was "über das Potential" lösen heisst verstehe ich nicht.
ausser linearen, und exakten Dgl gibt es noch einige Typen, für die es Lösungswege gibt.

z . B

. Bernoullische, anderen kann man durch Substitution lösen, die meisten haben keine analytische Lösung mit den bekannten Funktionen. Die integriert man eben numerisch.

(\in

Wirklichkeit integriert man schon

y' = y

numerisch, da man ja die

e -

Funktion nur numerisch kennt.)
Gruß ledum

Loewe1

16:37 Uhr, 23.08.2019

Hallo,

die 2. DGL ist eine exakte DGL.

P_{y} = Q_{x} = \frac{1}{x^{2}}

Malbersa aktiv_icon

14:34 Uhr, 24.08.2019

Verstehe.

Mit über das Potential lösen meinte ich, einen Term einer exakten DGL der Form

M + N y' = 0

zu integrieren (also

M

nach

x

oder

N

nach

y)

und dann das Potential der exakten DGL zu berechnen. Dann durch ableiten nach der jeweils anderen Variable und Gleichsetzen mit dem anderen Term noch auf die bis dato unbekannte Variable schließen und die wiederum ins Potential einsetzen.

Daraus lässt sich ja durch Umformung dann eine Lösung der DGL berechnen. Hoffe es ist klarer geworden, was ich meine.

ledum aktiv_icon

17:05 Uhr, 24.08.2019

Hallo
bleibt noch ne Frage? sons hak bitte ab.nur exakte, bzw durch Multiplikator exakt gemachte Dgl kann man über deine Potentialmethode lösen.
Gruß ledum

Malbersa aktiv_icon

12:06 Uhr, 25.08.2019

Ok, Danke.

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