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Exaktheit einer Windungsform prüfen?

Universität / Fachhochschule

Tags: Ana3, Exaktheit, Windungsform

Sunny92 aktiv_icon

17:46 Uhr, 10.02.2014

Hallo Leute,

ich war nun leider einige Tage krank und habe nun gar keinen Plan mehr, was ich tun soll. Könnt ihr mir helfen?

Zur Aufgabe:

"Zeigen sie, dass die auf

U = ℝ^{2} \ {(x, y)^{T} \in ℝ^{2} : x \leq 0, y = x^{2}}

eingeschränkte Windungsform exakt ist."

Das einzige, dass ich noch vor der Erkrankung mitbekommen habe ist, dass "exakt" heißt, dass eine Stammfunktion existiert.

Wie zeige ich das nun aber?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Sunny92 aktiv_icon

11:43 Uhr, 13.02.2014

Kann keiner helfen?

anonymous

18:56 Uhr, 15.02.2014

Ich bezeichne die Windungsform im Folgenden mit

ω,

so dass also:

ω = - \frac{y}{x^{2} + y^{2}} d x + \frac{x}{x^{2} + y^{2}} d y

Mir fallen die folgenden Möglichkeiten ein, um die Exaktheit zu zeigen, wobei ich in diesem Fall wohl die letzte Möglichkeit bevorzugen würde.

1. Möglichkeit:

Für beliebige Wege

γ \in U

mit Startpunkt

x_{0}

und Endpunkt

x,

hängt das Kurvenintegral

\int_{γ} ω

nur von

x_{0}

und

x,

aber nicht vom sonstigen Verlauf von

γ

ab.

Hintergrund: Besitzt

ω

eine Stammfunktion

Ω

so ist

\int_{γ} ω = Ω (x) - Ω (x_{0})

.

Fazit: Nicht so einfach, da man wirklich jeden beliebigen Weg in

U

betrachten muss.

2. Möglichkeit:

Für beliebige geschlossene Wege

γ \in U

mit Start- und Endpunkt

x,

ist das Kurvenintegral

\int_{γ} ω

gleich 0.

Hintergrund: Besitzt

ω

eine Stammfunktion

Ω

so ist

\int_{γ} ω = Ω (x) - Ω (x) = 0

.

Fazit: Nicht so einfach, da man wirklich jeden beliebigen geschlossenen Weg in

U

betrachten muss.

2. Möglichkeit:

Die Integrabilitätsbedingungen nachprüfen. In diesem zweidimensionalen Fall, ist das nur die Bedingung

\frac{\partial a_{x}}{\partial y} = \frac{\partial a_{y}}{\partial x}

mit

a_{x} = - \frac{y}{x^{2} + y^{2}}

und

a_{y} = \frac{x}{x^{2} + y^{2}}

.
Allerdings ist damit erst nachgewiesen, dass

ω

geschlossen ist. Um zu zeigen, dass

ω

exakt ist, müsste man dann noch zeigen, dass

U

einfach zusammenhängend ist.

Fazit: Mir fällt nicht ein, wie man möglichst einfach zeigen könnte, dass

U

einfach zusammenhängend ist.

4. Möglichkeit:

Da die Aufgabe bereits vermuten lässt, dass

ω

exakt ist, könnte man versuchen eine entsprechende Stammfunktion zu finden, und anschließend durch bilden der partiellen Ableitungen nachzuweisen, dass dies auch wirklich eine entsprechende stammfunktion ist.

Zum Raten einer Stammfunktion, muss man dann nicht mehr über jeden beliebigen Weg integrieren, wie bei der 1. Möglichkeit, sondern es reicht, dass man sich bestimmte Wege aussucht.

Man kann sich aber auch anderweitig überlegen, für welche Funktionen

Ω

die Bedingungen

\frac{\partial Ω}{\partial x} = - \frac{y}{x^{2} + y^{2}}

und

\frac{\partial Ω}{\partial y} = \frac{x}{x^{2} + y^{2}}

erfüllt sein könnten, so dass man also über die partiellen Ableitungen von

Ω

wieder die Windungsform

ω

erhalten würde.

Durch bilden entsprechender Kurvenintegrale oder anderweitiges Raten könnte man dann, wie ich auf arctan(y/x) kommen, was jedoch noch keine passende Stammfunktion ist, da sie für

x = 0

nicht entsprechend differenzierbar ist. Sie dürfte aber höchstens an den stellen

(x, y) \in U

nicht entsprechend differenzierbar sein. Durch ein wenig herumschieben, könnte man dann recht schnell darauf kommen, dass beispielsweise

a r c t a n (\frac{y}{x}) - π

für

x < 0

und

y < x^{2}

- \frac{π}{2}

für

x = 0

und

y < 0

a r c t a n (\frac{y}{x})

für

x > 0

\frac{π}{2}

für

x = 0

und

y > 0

a r c t a n (\frac{y}{x}) + π

für

x < 0

und

y > x^{2}

eine entsprechende Stammfunktion liefert. Diese Stammfunktion ordnet genau wie arctan(y/x) dem Punkt

(x, y)

einen entsprechenden Winkel zu. Jedoch hat arctan(y/x) "Sprünge" bei

x = 0

und ist dort deshalb nicht entsprechend differenzierbar. Bei der gebildeten Stammfunktion habe ich diese "Sprünge" einfach auf die ausgeschlossene Menge

{{(x, y)}^{T} \in ℝ^{2} : x \leq 0, y = x^{2}}

"verlegt".

Fazit: Machbar. Außerdem wird ja genau "'exakt' heißt, dass eine Stammfunktion existiert" ausgenutzt. Für die anderen genannten Möglichkeiten weiß ich nicht, wie weit das Theme schon bei euch behandelt wurde, also ob da nicht evtl. noch ein wenig Wissen fehlt.

Sunny92 aktiv_icon

17:28 Uhr, 19.02.2014

Ah, ok. Das ergibt Sinn, was du geschrieben hast… Danke!

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